이분 그래프의 최대 독립 세트

이분 그래프의 최대 독립 세트를 찾으려고합니다.

"1998 년 5 월 13 일-University of Washington-CSE 521-응용 프로그램 네트워크 흐름" 에서 다음 사항을 발견했습니다 .

문제:

이분 그래프 주어지면 가능한 큰 독립 세트 를 찾으십시오. 여기서 및 입니다. 세트의 요소 사이 에 모서리가 없으면 세트는 독립적 입니다.$G = (U,V,E)$$U' \cup V'$$U' \subseteq U$$V' \subseteq V$$E$

해결책:

꼭짓점 $U \cup V \cup \{s,t\}$ 에 흐름 그래프를 구성합니다 . 각 엣지 $(u,v) \in E$$u$ 에서 $v$ 까지 무한한 용량 엣지가 있습니다 . 각 $u \in U$ 에 대해 $s$ 에서 $u$ 까지 의 단위 용량 가장자리가 있으며 각 $v \in V$ 에 대해 $v$ 에서 $t$ 까지의 단위 용량 가장자리가 있습니다 .

제한된 용량을 잘라 찾기 $(S,T)$ 와, $s \in S$ 및 $t \in T$ . 하자 $U' = U \cap S$ 와 $V' = V \cap T$ . 세트 $U' \cup V'$ 는 컷을 가로 지르는 무한 용량 모서리가 없기 때문에 독립적입니다. 컷의 크기는 $|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$. 이를 통해 독립 세트를 최대한 크게 만들기 위해 컷을 가능한 작게 만듭니다.

이것을 그래프로 보자.

A - B - C
    |
D - E - F

우리는 이것을 다음과 같이 이분 그래프로 나눌 수 있습니다 $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

무차별 대입 검색에서 유일한 최대 독립 세트는 $A,C,D,F$ 입니다. 위의 솔루션을 통해 시도해보십시오.

따라서 구성된 흐름 네트워크 인접 행렬은 다음과 같습니다.

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

: 여기에서 I는 작은 유한 용량 I 참조 잘라 붙어 여기서 사소한 일이다 $(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$ 의 용량 삼.

이 컷을 사용하면 다음과 같은 잘못된 해결책이 나타납니다.

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

우리가 기대하는 반면 $U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$ ? 내 추리 / 작업에서 내가 잘못한 곳을 누구나 볼 수 있습니까?

최대 독립 세트의 보완은 최소 정점 커버입니다.

이분 그래프에서 최소 정점 표지를 찾으려면 코니 그 정리를 참조하십시오 .

반대의 예에서 보듯이 주어진 해결책은 분명히 틀립니다. 그래프 U + V는 무한 용량 에지에 의해 연결된 컴포넌트입니다. 따라서 모든 유효한 절단에는 동일한면에 A, B, C, D, E, F가 모두 포함되어야합니다.

솔루션의 출처를 추적하려고 시도합니다. http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf Ahuja, Magnanti 및 Orlin의 Network Flows에 일부 문제가 있습니다. 이 책은 저작권 이 없으며 http://archive.org/details/networkflows00ahuj 에서 다운로드 할 수 있지만이 문제와 해결책을 포함하지는 않습니다 (모든 "이중"항목 검색).

솔루션의 설명 문단에서 구성하는 그래프의 가장 작은 컷이 최대 독립 세트에 해당함을 나타내지 않습니다 . 그것은 단지 얻을 수있는 방법을 보여줍니다 독립적 인 세트를.

그러나 알고리즘이 수행하려는 작업을 볼 수 있습니다. 다음은 실제 최대 독립 세트가 s, t cut 측면에서 대응하는 내용입니다.

알고리즘을 깨는 무한 용량 에지가 강조됩니다.

알고리즘을 의도 한대로 수정하는 방법을 잘 모르겠습니다. 후진하는 경우 무한 에지의 비용은 0이되어야합니다 (즉, S에서 T로 이동하지만 t-side에서 s-side로 교차하는 경우)? 그러나이 비선형 성으로 min-cut / max-flow를 쉽게 찾을 수 있습니까? 또한 @ Jukka Suomela의 솔루션에서 문제의 알고리즘으로 브리지하는 방법을 생각할 때 최대 매칭에서 최소 정점 커버로 이동하는 데 어려움이 있습니다. 최대 매칭을 찾는 동안 최대 흐름으로 수행 할 수 있습니다 유사 알고리즘, 흐름 유사 알고리즘을 사용하여 최소 정점 커버를 어떻게 복구합니까? 여기에 설명 된대로최대 매칭이 발견 된 후, U와 V 사이의 에지는 최소 정점 커버를 찾도록 지시된다. 다시 말해,이 문제를 해결하기 위해 min-cut / max-flow를 적용하는 것만으로는 충분하지 않습니다.

$S$$T$$S$

컷은 용량이 아닌 실제 흐름에 있어야합니다. s의 흐름이 유한하기 때문에 모든 {S, T} 컷은 유한합니다. 나머지는 위에 설명되어 있습니다.

원래 그래프의 방향이 지정되지 않은 경우에도 가장자리를 양방향으로 연결할 필요는 없다고 생각합니다. 플로우 네트워크의 경우 직접 그래프가 필요하기 때문에 모서리 만 고려할 수 있습니다.$U$ 에 $V$.

그런 다음이 새로운 그래프에서 $G'$, 당신은 2의 최소 컷을 가지게 될 것입니다. $\{A,C,D,F\}$.