2 차 시간이 필요한 문제

입력 하한이 $\Omega(|x|^2$ ) 인 문제의 예를 찾고 있습니다. $x$

이 문제에는 다음과 같은 속성이 있어야합니다.

$\Omega(n^2)$ 모든 알고리즘에 대한 런타임 증명 – 우선 순위는 가능한 한 낮은 하한 인수를 갖는 것입니다.
$O(n^2)$ 가능한 경우 알고리즘도 간단한 알고리즘입니다.
출력 크기는 $O(n)$ (또는 더 작음)입니다. 분명히 $\Omega(n^2)$ 길이의 출력이 필요한 문제는 적어도 비슷한 런타임이 필요하지만 이것이 내가 원하는 것은 아닙니다. 모든 결정 문제가 여기에 해당합니다.
(가능한 경우) "자연스러운"문제. 공식적인 정의가 없으면 CS 졸업생이 인식하는 문제가 바람직합니다.

나는 최근에 그러한 문제에 대해 질문을 받았지만 간단한 문제를 만들 수 없었습니다. 떠오른 첫 번째 문제가 있었다 하였다 conjuctured 수 런타임 문제. 이것은 충분히 간단하지 않았으며, 그 활용은 최근에 거짓으로 입증되었습니다 . $3SUM$ $\Omega(n^2)$

매우 부자연 문제로가는 I는 입력 결정적 TM 입력으로 얻는 문제 믿고 및 후 테이프 헤드의 위치를 출력한다 이 때 단계 실행하면 아마도 질문에 대답 할 것입니다. $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

절대적으로 필요한 경우 런타임이 정확한 모델과 독립적 인 문제 (합리적인 모델 인 한)를 선호하지만 단일 테이프 TM 모델을 사용하고 있음에 동의합시다.

따라서 런타임이 인 단순 하고 증명할 수있는 자연스러운 (잘 알려진) 문제를 찾을 수 있습니까? $\Theta(n^2)$

— RB
소스

나는 "자연수

, 계산

"가 적합 하다고 생각 합니다. 또한 이 질문에 주목 하십시오 .

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Raphael

멀티 테이프 튜링 기계에서 초 선형 하한을 증명하는 방법을 아는 유일한 방법은 대각선을 이용하는 것입니다. 단일 테이프 튜링 기계의 경우 교차 시퀀스를 사용하면 조금 더 나아질 수 있지만 공간을 제한하지 않는 한

까지는 아닙니다 .

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

다른 관련 질문 은 여기 를 참조 하십시오 . 입력 반전은 좋은 후보 인 것 같습니다.

— Raphael

NP에 대해 가장 잘 알려진 하한은 O (n)이기 때문에 의사 결정 문제로 할 수 있다고 생각하지 않습니다.

— Albert Hendriks

귀하의 의견에 감사드립니다 @AlbertHendriks. 당신이 낮은 행 알려진 가장 좋은 것을 주장하는 소스 / 설문 조사에 대한 참조를 공유하시기 바랍니다 수 있는 NP에 문제 것은

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

찾기 부러워없는 케이크 절단하는 것은 필요 쿼리를. 그러나 계산 모델이 튜링 기계와 다르기 때문에 귀하의 질문에 직접 대답하지 않습니다. $\Omega(n^2)$

그건 그렇고, 현재이 문제에 대해 가장 빨리 알려진 알고리즘 은 쿼리를 필요로하므로 하한과는 큰 차이가 있습니다. 아마 컴퓨터 과학에서 가장 큰 차이 중 하나 일 것입니다. $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— 엘렐 시갈-할레 비
소스

$\Theta(n^2)$

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

그건 그렇고, Yuval이 언급 한 "교차 시퀀스 방법"은 (내가 아는 한) 수학적으로 통신 복잡도와 수학적으로 동등하거나 (또는 아마도 열등하다) 언급 할 가치가 있습니다.

$\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— 윈스
소스