발 간단한 경로의 수가 발견 알고리즘 에 에서

캔 누구도 날 입력으로서 취하는 시간 선형 알고리즘을 제안 비순환 방향 그래프 및 두 꼭지점 과 복귀에서 간단한 경로의 수 에 에서 . 나는 내가 DFS (깊이 우선 검색)을 실행하는 알고리즘을 가지고 있지만 DFS가 발견되면 다음 경로에 제공되는 노드의의 (회색 흰색에서) 색상을 변경하지 않습니다 그래서 이것이 다른 경로의 하위 경로 인 경우 DFS도이 하위 경로를 다시 통과합니다. 예를 들어 p 에서 v 까지의 경로 수를 찾아야하는 인접 목록을 고려하십시오 .$G=(V,E)$$s$$t$$s$$t$$G$
$t$$s \rightsquigarrow t$$p$$v$

$$\begin{array}{|c|c c c|} \hline p &o &s &z \\ \hline o &r &s &v\\ \hline s &r \\ \hline r &y \\ \hline y &v \\ \hline v &w \\ \hline z & \\ \hline w &z \\ \hline \end{array}$$ 여기서 DFS는 $p$ 로 시작한 다음 v DFS가 정상적으로 실행되지 않기 때문에 p \ rightsquigarrow z로 간다고 말합니다. 경로는 psryv 가 발생하기 때문에 V 우리는 정점의 색상이 변경되지 않습니다 ,들 R, Y, V 경로 grey.Then에 POV 의 색상 때문에 V는 경로 white.Then 여전히 posryv 의 컬러 이후 의이 유사 흰색이며 경로 poryv$p \rightsquigarrow z$$v$$psryv$$v$$s,r,y,v$$pov$$v$$posryv$$s$$poryv$또한 $v$ 가 발생 하면 증가하는 카운터가 유지 됩니다.

내 알고리즘이 맞습니까? 그렇지 않다면, 그것을 수정하기 위해 어떤 수정이 필요하거나 다른 접근법이 크게 감사하겠습니다.

참고 : 여기 에서는 노드에 상태에 따라 색상을 지정하는 " Comen의 알고리즘 소개" 책에 나와있는 DFS 알고리즘을 고려했습니다. 따라서 노드가 방문하지 않고 탐색되지 않은 경우 색상이 흰색으로 표시됩니다. 회색과 검은 색. 다른 모든 것은 표준입니다.

현재 구현은 DAG에서 올바른 수의 경로를 계산합니다. 그러나 경로를 표시하지 않으면 지수 시간이 걸립니다. 예를 들어, 아래 그림에서 DAG의 각 단계는 총 경로 수를 3의 배수로 증가시킵니다.이 지수 증가는 동적 프로그래밍으로 처리 할 수 ​​있습니다.

DAG 의 - 경로 수 계산은$s$$t$

$$\text{Paths}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u = t \\ \sum_{(u,v) \in E} \text{Paths}(v) & \text{otherwise.}\\ \end{cases}$$

DFS를 간단히 수정하면 다음과 같이 계산됩니다.

def dfs(u, t):
    if u == t:
        return 1
    else:
        if not u.npaths:
            # assume sum returns 0 if u has no children
            u.npaths = sum(dfs(c, t) for c in u.children)
        return u.npaths

각 모서리가 한 번만 보이므로 의 런타임을 보는 것이 어렵지 않습니다 .$O(V + E)$

한 노드에서 대상 노드까지의 경로 수는 하위 노드에서 대상까지의 경로 수의 합이라는 점만 알면됩니다. 그래프에주기가 없기 때문에이 알고리즘은 항상 중지됩니다.

이제 노드를 방문 할 때 한 노드에서 대상까지의 경로 수를 저장하면 정점 수에서 시간 복잡성이, 노드 수에서 메모리가 선형이됩니다.

DAG에서 두 정점 사이의 경로 수는 인접 행렬 표현을 사용하여 찾을 수 있습니다.

A가 G의 인접 행렬이라고 가정합니다. 항등 행렬을 추가 한 후 A의 K 제곱을 취하면 길이 <= K의 경로 수가 제공됩니다.

DAG에서 임의의 단순 경로의 최대 길이는 | V | -1이므로 | V | -1 번째 전력을 계산하면 모든 정점 쌍 사이에 경로 수가 제공됩니다.

TC 각각에 대해 log (| V | -1) 곱셈을 수행하여 | V | -1 전력을 계산할 수 있습니다. | V | ^ 2.