입력 크기가 클수록 인스턴스가 더 어려워지는 이유는 무엇입니까?

아래에서는 무한 테이프 튜링 기계를 사용한다고 가정합니다.

누군가에게 시간 복잡성의 개념을 설명하고 인스턴스의 입력 크기를 기준으로 측정 한 이유를 설명 할 때 다음 주장을 우연히 발견했습니다.

[..] 예를 들어, 두 정수에 3 비트를 곱하는 것보다 두 정수에 100000 비트를 곱하려면 더 많은 단계가 필요합니다.

주장은 설득력이 있지만 어떻게 든 손을 흔들며. 내가 찾은 모든 알고리즘에서 입력 크기가 클수록 더 많은 단계가 필요합니다. 보다 정확하게 말하면, 시간 복잡도는 입력 크기의 단조 증가 함수 입니다.

입력 크기에서 시간 복잡성이 항상 증가하는 기능입니까? 그렇다면 왜 그렇습니까? 거기에 증거 가 넘어 손을 흔들며에 대한은?

complexity-theory time-complexity intuition

— 카베
소스

"직접 비례"는 본질적으로 선형 시간을 의미하는 특정한 수학적 의미를 갖는다. 즉, 입력의 크기가

인 경우 시간이 직접 비례하는 경우 알고리즘은 시간

에서 실행됩니다 . 많은 알고리즘이 선형 시간, 즉 정렬과 같이 실행되지 않기 때문에 이것이 의미하는 바가 아니라고 생각합니다. 더 설명해 주시겠습니까?

n

$n$

c n

$cn$

— SamM

그래서 당신은

시간에 실행되는 알고리즘에 대해 질문하고 있습니까?

은 입력 크기에 관계없이 알고리즘이 동시에 실행됨을 의미하고,

은 입력이 커질수록 더 빠르게 실행됨을 의미합니다. 나는 그 시간에 내 머리 꼭대기에서 실행되는 것을 생각할 수 없지만 알고리즘은 종종

시간 과 같은 방식으로 실행되기 때문에 표기법이 상당히 일반적입니다. ,

가 걸립니다

o (1)

$o(1)$

O (1)

$O(1)$

o (1)

$o(1)$

O (n^{2}) + o (1)

$O(n^2) + o(1)$

O (n^{2})

$O(n^2)$ 입력이 커질수록 작아지는 다른 용어가 있습니다.

— SamM

좋은 질문. 일부 큰

대해

의 주요 인자를 계산하는 반대의 예는 어떻습니까 (이것은

대한 증가하는 함수일

까)? @Sam 증가 함수는 실제 라인을 따라 특정 시점에서 시간이 감소 해야한다는 것을 나타냅니다 (즉,

c / n

$c / n$

c

$c$

n \geq c

$n \geq c$

f (b) < f (a), a < b

$f(b) < f(a), a < b$

— Casey Kuball

@Darthfett 나는 따르지 않을 것을 두려워합니다. 실제 라인을 따라 어느 시점에서 증가하는 기능이 모두 감소하는 것은 아닙니다.

— SamM

@ Jennifer 예, 이해합니다. 원하는 의미를 갖기 때문에

라는 용어를 사용하는 것이 좋습니다 . 직접 비례가 선형성을 의미한다는 점을 강조하고 싶습니다. 나는 당신이 무엇을 얻고 있는지 알지만 처음으로 질문을 읽는 사람들에게는 혼란 스러울 수 있습니다.

o (1)

$o(1)$

— SamM

답변:

입력 크기에서 시간 복잡성이 항상 증가하는 기능입니까? 그렇다면 왜 그렇습니까?

번호가 정지 후하는 튜링 기계를 고려 단계 입력 크기 때 짝수이고,가 정지 한 후에 때 단계 홀수이다. $n$ $n$ $n^2$ $n$

당신이 문제 의 복잡성을 의미한다면 , 대답은 여전히 아니오입니다. 우선 순위 테스트의 복잡성은 홀수보다 짝수의 경우 훨씬 작습니다.

— JeffE
소스

입력 크기에서 시간 복잡성이 항상 증가하는 기능입니까? 그렇다면 왜 그렇습니까? 손을 흔드는 것 이상의 증거가 있습니까?

하자 입력 크기를 나타낸다. 전체 입력을 읽으려면 튜링 기계에 이미 단계가 필요 합니다. 따라서 알고리즘이 전체 입력 (또는 상수 을 읽어야한다고 가정 하면 항상 최소한 선형 런타임으로 끝납니다. $n$ $n$ $n/c$ $c$

"모노톤 감소 런타임 함수"로 알고리즘을 정의 할 때의 문제점은 어떻게 든 의 런타임을 정의해야한다는 것 입니다. 유한 한 값 으로 설정해야 합니다. 그러나 에는 무한한 값이 있으므로 무한 많은 값에 대해 일정한 함수로 끝납니다. $n = 1$ $n > 1$

아마도 전체 입력을 읽지 않는 부분 선형 알고리즘 이 유용 할 것입니다. 예를 들어 http://www.dcs.warwick.ac.uk/~czumaj/PUBLICATIONS/DRAFTS/Sublinear-time-Survey-BEATCS.pdf 를 참조하십시오 .

— 크리스토퍼
소스

O (\log n)

$O(\log n)$

o (1)

$o(1)$

@ Sam : 죄송합니다. 편집하기 전에 귀하의 의견을 보지 못했습니다 (하위 선형 알고리즘 추가).

— 크리스토퍼

정반대; 내 의견을 추가하기 전에 수정 사항을 보지 못했습니다. 나는 그것을 삭제하지만 후반은 여전히 적용되며 추가 링크가 OP를 해칠 수 없습니다

— SamM

f (x) = 0

$f(x)=0$

$(\mathbb{N},\leq)$ $\Omega(1)$

즉, 평균 런타임에는 진동 구성 요소 (예 : Mergesort) 가 포함될 수 있습니다 .

— 라파엘
소스

이 답변이 질문과 어떻게 관련되어 있는지 알 수 없습니다.

— A.Schulz

@ A.Schulz 그것은 "증가"를 "비 감소"로 읽는 것, 즉 반드시 엄격하게 증가하는 것은 아니라 "주요 크기가 입력 크기에서 항상 증가하는 기능입니까?"라는 주요 질문에 대한 증거를 제공합니다.

— Raphael

\neq

$\not=$

@ A.Schulz : 그래도 제 해석은 Jennifer가 관심을 갖고있는 것으로 보입니다 .

— Raphael