Y 콤비 네이터는 Curry-Howard 통신에 위배됩니까?

Y 콤비 의 유형은 입니다. Curry-Howard 서신에 따르면, 는 사람이 거주하기 때문에 실제 정리와 일치해야합니다. 그러나 는 항상 true이므로 Y 조합기의 유형이 정리 해당하는 것처럼 보이지만 항상 그렇지는 않습니다. 어떻게 이럴 수있어?( a → a ) → a a → a $(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

원래 Curry-Howard 서신은 직관적 제안 논리와 단순 유형 람다 미적분학 사이의 동형입니다.

물론 다른 Curry-Howard와 같은 동형이 있습니다. Phil Wadler는 유명한 "Curry-Howard"라는 이중 장벽 이름은 "Hindley-Milner"및 "Girard-Reynolds"와 같은 다른 이중 장벽 이름을 예측한다고 유명하게 지적했습니다. "Martin-Löf"가 그들 중 하나라면 재미있을 것입니다. 그러나 나는 산만하다.

Y 콤비 네이터는 한 가지 주요 이유 때문에이를 모순하지 않습니다. 단순 유형 람다 미적분에서는 표현할 수 없습니다.

사실, 그것은 요점이었습니다. Haskell Curry는 형식화되지 않은 람다 미적분에서 고정 점 조합기를 발견하고 형식화되지 않은 람다 미적분이 건전한 공제 시스템이 아님을 증명하는 데 사용했습니다.

흥미롭게도 Y의 유형은 카레의 역설이라고 불릴만큼 잘 알려지지 않은 논리적 역설에 해당합니다. 이 문장을 고려하십시오 :

이 문장이 참이면 산타 클로스가 존재합니다.

문장이 사실이라고 가정하십시오. 그렇다면 분명히 산타 클로스가 존재할 것입니다. 그러나 이것은 정확하게 문장이 말한 것이므로 문장 이 사실입니다. 따라서 산타 클로스가 존재합니다. QED

Curry-Howard는 유형 시스템을 논리적 추론 시스템과 관련시킵니다. 무엇보다도 다음과 같이 매핑됩니다.

• 증명 프로그램
• 증거에 대한 변환에 대한 프로그램 평가
• 참된 제안에 사람이 거주하는 유형
• 논리적 추론 시스템에 유형 시스템

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

Curry-Howard 통신은 바로 그 것입니다 : 통신. 그 자체로는 특정 정리가 사실이라고 말하지 않습니다. 타이핑 가능성 / 확률은 한 쪽에서 다른쪽으로 나옵니다.

Curry-Howard 서신은 여러 유형의 시스템 (간단한 유형의 람다 미적분학, 시스템 F, 구성의 미적분학 등)을 가진 증명 도구로 유용합니다. 이러한 모든 유형 시스템은 해당 논리가 일관된 속성을 갖습니다 (일반적인 수학이 일관된 경우) ). 또한 임의의 재귀를 허용하지 않는 속성이 있습니다. Curry-Howard 서신은이 두 특성이 관련되어 있음을 보여줍니다.

Curry-Howard는 여전히 종료되지 않는 유형의 미적분 및 일관되지 않은 추론 시스템에 적용됩니다. 특별히 유용하지는 않습니다.