주어진 n 개의 문자열 중 하나가 다른 문자열입니까?

문자열 가정 합니다. 해당 문자열 중 하나가 컬렉션에있는 다른 문자열의 하위 문자열인지 알고 싶습니다. 즉, 다음 작업에 대한 알고리즘을 원합니다.$n$$S_1,\dots,S_n$

입력 :$S_1,\dots,S_n$

출력 : 예 : 는 및 의 하위 문자열 임 ) 또는 그러한 가 없는 경우 None$i,j$$S_i$$S_j$$i\ne j$$i,j$

이를위한 효율적인 알고리즘이 있습니까?

"substring"을 "prefix"로 바꾸면 효율적인 알고리즘이 있습니다 (문자열을 정렬 한 다음 선형 스캔을 수행하여 인접한 문자열을 비교합니다. 정렬하면 하위 문자열이 인접 해 있음). 그러나 문자열이 다른 문자열의 하위 문자열인지 테스트하는 것이 더 어려워 보입니다. 순진한 알고리즘은 모든 쌍 를 반복하는 것이지만 하위 문자열 테스트가 필요합니다. 더 효율적인 알고리즘이 있습니까?$i,j$$\Theta(n^2)$

이것을 "모든 쌍 하위 문자열 테스트"또는 이와 유사한 것으로 부를 수있을 것 같습니다.

내 궁극적 인 목표는 컬렉션에서 다른 문자열을 제거하여 문자열을 다른 문자열로 만들지 않도록 컬렉션을 정리하는 것입니다.

선형 시간에 접미사 트리를 작성하고 전체 문자열 (노드 당 일정한 시간)에 해당하는 내부 노드가 있는지 확인할 수 있습니다.

더 자세하게, 우리는 문자열이 있다고 가정 $s_1, \dots, s_n \in \Sigma^*$.

1. A (일반화) 구축 접미사 트리 의를$s_1\$_1, s_2\$_2, \dots, s_n\$_n$ 와 $n$ 쌍별 구별 터미널 마커 $\$_1,\dots,\$_n \notin \Sigma$.

   Ukkonen의 알고리즘을 사용하면 선형 시간으로 수행 할 수 있습니다. 모든 문자열 길이의 합계에서 선형입니다.

2. 당신이 레이블을 잎으로 가정 $(i,j)$ 이들이 접미사를 나타내는 경우 $s_i[j..|s_i|]$ 의 $s_i$나무를 가로 질러서 $n$ 라벨이 붙은 잎 $(i,0)$즉, 전체 문자열에 해당하는 잎입니다.

   이것은 트리 크기에서 선형으로 시간이 걸리며 입력 크기에서 선형으로 나타납니다.

3. 부모의 후손 $(i,0)$ (이것은 가장자리에 라벨이 붙어 있습니다. $\$_i$) 세트에서 모든 일치를 나타냅니다. 이것은 접미사 트리의 기본 불변 값에서 비롯됩니다. 어떤 잎으로도 내려 가서 하나의 성냥을 찾으십시오.$(i,0)$).

   다시 선형 시간이 걸립니다.

별개의 터미널 마커는 실제로 필요하지 않습니다. 리프마다 여러 레이블을 허용하는 한 모든 문자열을 종료하는 데 사용되는 단일 문자열이면 충분합니다.