세트가 주어지면 각 세트에서 하나 이상의 요소를 포함하는 가장 작은 세트를 찾으십시오.

세트 감안할 때 세트를, 나는 세트 찾으려면 모든 설정하도록 에서 적어도 하나 개의 요소가 포함되어 . 나는 또한 싶습니다 아직이 기준을 충족하면서 하나 이상의 작은이있을 수 있지만, 가능한 몇 가지 요소로 포함하는 이 속성 (솔루션이 반드시 고유하지 않습니다).$\mathbf{S}$$M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

구체적인 예로, 세트가 국기 세트이고 각 플래그 에 대해 요소가 해당 국가의 국기에 사용 된 색상이라고 가정하십시오. 미국은 이고 모로코는 입니다. 그런 다음 은 모든 국기가 의 색상 중 하나 이상을 사용하는 속성이있는 색상 세트입니다 . ( 파란색, 검은 색, 빨간색, 녹색, 노란색 및 흰색 의 올림픽 색상 은 이러한 의 예 이거나 적어도 1920 년입니다.)$\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$$S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$$M$$M$

이 문제에 대한 일반적인 이름이 있습니까? 세트 을 찾기 위해 허용 된 "최상의"알고리즘이 있습니까? (나는 계산 복잡성을 위해 프로세스를 최적화하는 것보다 솔루션 자체에 더 관심이 있습니다.)$M$

문제는 잘 알려진 NP- 완전 문제인 Hitting Set 입니다. Set-Cover 와 밀접한 관련이 있습니다. NP- 완전성 증명 은 Garey and Johnson 의 고전 서적 에서 찾을 수 있습니다 .

근사치를 계산하려면 먼저 인스턴스를 Set-Cover로 변환 한 다음 Set-Cover에 대한 근사 알고리즘을 적용하십시오. 그러나 Lund와 Yannakakis가 보여주는 P = NP가 아니라면 다항식 시간의 상수 인자로 Set-Cover를 근사 할 수 없습니다 .

정확한 솔루션에 관심이 있고 입력이 훌륭하게 작동하는 경우 고정 매개 변수 tractable을 사용하는 것이 좋습니다 . 여기에서 작동 시간은 입력 길이 $n$ 뿐만 아니라 추가 매개 변수 $k$ 됩니다. 실행 시간이 $O(f(k)\cdot n^{O(1)})$ 이면 알고리즘을 FPT- 알고리즘이라고합니다. 여기서, $f(k)$ 는 증가하는 함수이다. 그래서 만약 $k$ 상수는 우리가 polytime 알고리즘을 가지고있다. 첫 번째 챕터 의Flum and Grohe의 저서 , 세트 타격에 대한 FPT 알고리즘에 대해 설명합니다 (보다 정확하게 $p$ 카드 타격 세트에 대한). 이 알고리즘은 구현하기 쉽고 제한된 검색 트리의 방법을 사용합니다. 여전히 여기에 설명하기 위해 많은 공간이 필요합니다. 기본적으로 필요한 (?) 무차별 검색을 작은 조각으로 나눕니다 ( $k$ 가 작을 때 ).

모든 집합의 교집합 경우 : 도움이 될 아이디어 에서이 비어 있지, 당신은 어떤 요소를 선택할 수 있습니다 들 교차로와 설정 M = { 들에게 } . 교집합이 비어 있는 경우 세트에서 발생이 최대 인 요소 (컬러) c 를 찾고 싱글 톤 { c }로 발생하는 모든 세트를 교체하십시오 . 모든 요소의 발생 횟수가 1 이 될 때까지이 작업을 계속 수행 한 다음 M 을 나머지 집합의 합집합으로 설정하십시오. 예를 들어 S 가 일부 세트 A 의 전력 세트 이면 M = $\mathbf S$$s$$M = \{s\}$$c$$\{c\}$$1$$M$$\mathbf S$$A$$M = A$. 그러나 나는 틀렸다.

Ray Reiter의 "첫 번째 원리의 진단 이론" 에서 타격 세트를 계산하는 알고리즘과이 추가 노트 "A correction ..."을 살펴보십시오 .

이 알고리즘은 일반적으로 "히팅 세트 트리"알고리즘으로 알려져 있으며 구현을 찾기가 너무 어렵지 않아야합니다. 런타임에 너무 관심이 없다고 언급했지만 초기 분기 종료 등과 같은 최적화는 구현에 매우 중요하며 흥미 롭습니다. :)

실제로, Set Cover / Hitting Set의 인스턴스를 해결하는 더 좋은 방법 중 하나 (확실히 가장 쉬운 방법 중 하나)는 혼합 정수 프로그래밍입니다. 여기에는 정수 프로그래밍 공식 을 선택한 솔버 에 전달하는 과정이 포함됩니다 .