3 중 중첩 루프의 시간 복잡성

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다음 3 중 루프 루프를 고려하십시오.

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

이 문장은 정확히 번 누군가이 공식을 어떻게 얻었는지 설명해 주시겠습니까? 감사합니다. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— 신
소스

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질문 중첩 루프의 시간 복잡도 공식은 또한 관심이있을 수 있습니다.

— Juho

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실행되는 트리플릿 수 를 계산하여 가장 안쪽 for 루프가 실행 된 횟수를 계산할 수 있습니다. $(i,j,k)$

$1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

$n+2$
$n+2$
- $i$
- $j$
- $k$

$n+2$ $n+2 \choose 3$

— 리즈 완 후다
소스

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좋은 대답입니다! i, j, k의 정확한 값은 중요하지 않습니다. 우리는 단지 파란색 상자를 n 개의 가능한 위치에 배치 할 수 있고 그 위치가 제한되어 있음을 알아야합니다.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda 의 부분을 제외하고는 지 웁니다 . 설명해 주시겠습니까? 은 올바른 숫자처럼 보입니다.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame 예. 빨간 상자 가 있다고 상상할 수 있지만 " 빨간 상자" 중에서 파란색으로 칠하기 위해 3 개의 빨간 상자를 자유롭게 선택할 수 있습니다. 첫 번째 상자를 파란색으로 표시 할 수 없기 때문에 ( )

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

3

나를 위해 내부 루프가 번 실행되고 내부 루프 의 총 실행 횟수는 다음과 같습니다. $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

이것은 로 다시 쓸 수 있으며 번 실행 되므로 총 실행 횟수는 다음과 같습니다. $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— 앤디 맥스 보이
소스

도전 과제 : x-nested 루프가 있다고 상상해보십시오. 이전 답변에 따르면 (n + x-1) x 번 선택합니다. 수식을 어떻게 계산 하시겠습니까?

— 다비드 나 팅가

운 좋게도 OP는 x-nested를 요구하지 않았습니다! 주어진 다른 대답은 어떻게 x 중첩 루프로 확장됩니까? 내 대답은 0에서 n, 0에서 n-i_1, 0에서 n-i_2, ..., 0에서 n-i_x까지 더 많은 합계를 가져와야합니다. 그러나 나는 그것을 계산하는 방법을 모른다.

— andy mcevoy 7:25에

1

대답은 일반적인 x에 대해서는 명시 적으로 확장되지 않지만 제시된 추론 프로세스는 x-nested 루프를 따르기 쉽습니다. 파란색 상자 만 더 추가하면됩니다. 더 많은 합계를 계산하는 방법을 알지 못합니다.

— Dávid Natingga