Oracle Turing 기계를 사용하면 어떻게 모순이 생기지 않습니까?

oracle Turing Machine을 사용할 때 복잡한 클래스에 대해 건전하고 유효한 진술을 어떻게 계속할 수 있습니까? 내 이해에 따르면 (주제에 대한 입문 교과서에 제공된 정의를 기반으로) oracle Turing machine은 한 번의 계산 단계에서 oracle 언어에 대한 문자열의 멤버쉽 상태를 결정할 수 있습니다. 그러나 종종 사용되는 오라클 언어는 일정한 시간에 해결하기가 불가능합니다 (예를 들어 EXPTIME 완료 오라클). 나에게 이것은 모순에 대한 "문을 여는"것처럼 보이며 결국 모순이 뒤 따릅니다.

complexity-theory oracle-machines

— 아리
소스

오라클이 "정말"시간이 걸린다면

T

$T$ 그것은 전체 머신의 런타임에 대한 요소 일뿐입니다. 일정한 비용을 가정하면 (즉, 오라클이 얼마나 자주 필요한지 계산) 오라클을 사용하는 알고리즘을 쉽게 비교할 수 있습니다. (결과가 현실과 관련이 있는지에 대한 질문은 TCS에서 항상 직면하거나 무시하는 것입니다.)

— Raphael

@Raphael 괄호 안에 "귀하"라는 말은 복잡한 이론가, 특히 나나 복잡한 이론을 의미합니까?

— Ari

전자. 글쎄, 둘 다.

— Raphael

고급 주제. 때때로 "오용"하고 해당 지역을 조사한다는 데 동의 하는 Fortnow 부터 시작해보십시오 . 이러한 결과를 보는 일관된 방법은 일종의 "조건부"어설 션과 같습니다. Riemann 가설 등에 기초하여 수학적으로 많은 결과가 조건부로 입증되는 방식과 유사

— vzn

답변:

이것을 보는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

하나는 증명에서 함축은 일종의 함수와 유사하며, 입력으로 무언가의 증거를 취하고 다른 것의 증거를 출력한다는 것입니다.

우리는 가지고 있지 않은 값에서 작동하는 함수를 작성할 수 있습니다.

예를 들어, 정지 숫자를 고려해 봅시다 $h$ 계산할 수 없습니다. 함수를 쓸 수있다

$haltingPlusOne : \{h \} \rightarrow \mathbb{N}$

$haltingPlusOne(x) = x + 1$ .

이 함수는 Halting 숫자를 입력으로 받아 Halting 숫자에 1을 더한 값을 반환합니다. 분명히 이것은 잘 정의 된 기능입니다. 올바른 입력을 제공하면 올바른 출력을 제공합니다. 올바른 입력을 찾을 수 없다고해서 변환에 덜 유효한 것은 아닙니다.

나는 oracles를 가진 증명을 비슷한 것으로 본다. 기본적으로 문제를 해결하는 튜링 머신을 제공하는 기능입니다. $X$ , 그리고 일부 정리의 증거를 출력으로 제공합니다.

또한 "중지 문제를 결정할 수있는 Turing Machine이 없습니다"와 같이 말할 때 정지 문제를 결정하는 TM의 표준 정의와 일치하는 TM이 없다는 것을 인식하는 것이 중요합니다.

오라클은 기본적으로 "어떤 문제를 해결할 수 있다고 가정하는 것 외에는 표준 정의와 일치하는 TM이 있다고 가정합니다"라고 말합니다. 따라서 우리는 문제를 받아들이는 일반적인 TM이 있다고 가정하지 않기 때문에 모순이 없습니다. 우리는 문제를 받아들이는 특별한 TM이 있다고 가정합니다.

매우 비공식적 인 비유에서, 이것과 같이 생각하십시오. 내가 당신에게 초능력이없는 사람은 날 수 없다는 것을 증명할 수 있다면, 날 수있는 슈퍼 히어로가 있다는 모순은 없습니다.

이 오라클은 순수한 논리적 개체입니다. 우리는 기계를 에뮬레이트하는 물리적 기계를 만드는 방법, Turing 기계로 할 수있는 방법을 모르지만, 우리가 아는 한, 그들의 정의와 기본 공리 사이에는 본질적인 모순이 없습니다. 논리적 객체로서 이러한 오라클이 존재합니다. 우리는 이들이 표준 Turing Machines 또는 Lambda-Calculus 항 또는 부분 재귀 함수가 아니라는 것을 알고 있습니다. Church-Turing 논문은 더 이상 강력한 모델은 없지만 이론은 아니며 추측 일 뿐이며 실제로 증명하기에는 너무 비공식적이라고 말합니다.

— jmite
소스

나는 당신의 대답에 동의하거나 이해하지만 특정 시점까지만 : 예를 들어, 귀하의 haltingPlusOne 함수가 잘 정의되어 있지만 oracles에서 의미있는 결론을 도출 할 수있는 방법을 보지 못합니다. 허위 진술의 "if"진술 및 결론에 도달 한 경우, 즉 "If

n + 1 = n

$n + 1 = n$ 모든 자연수

n \geq 1

$n \geq 1$ 자연수는 하나뿐입니다. "

— Ari

문제는 진술이 거짓이 아니며, 우리는 단지 그것들을 구성 할 수 없다는 것입니다. 열쇠는 oracles가 Turing 머신이 아니라는 것을 의미합니다.

— jmite

"올바른 입력을 찾으십시오"

\mapsto

$\: \mapsto \:$ "올바른 출력을 찾으십시오"

$\;\;\;$ ?

$\;\;\;\;\;\;\;$

글쎄, 오라클이 해결하기 어려운 오라클에 액세스하는 것이 oracle TM의 필수 기능이라고 말하고 싶습니다. 오라클을 결정할 수 있다면 $A$ 일정한 시간에 모든 수업에 $B$ 너도 아마 $B=B^A$ . 그렇다면이 경우 오라클을 사용하는 이유는 무엇입니까?

그렇다면 oracle TM을 사용하는 데 요점이 무엇입니까? 나는 그것이 문제의 경도 (도)에 대한 이론적 고려를 주로 할 수 있다고 말할 것이다. 오라클은 결정조차 할 수 없습니다. 이 경우 결정 불가능한 문제의 전체 계층 구조를 정의 할 수 있습니다 (Turing degree). 물론 오라클이 중단 문제인 경우 Oracle TM을 기존 TM으로 변환 할 수 없습니다.

oracle TM 개념은 또한 강력한 형태의 축소 (Turing reductions)를 정의하는 데 중요합니다.

oracle TM의 이론적 동기가 높을수록 오라클 세계 외부에 영향을 줄 수 있습니다 . 당신은 아마 유명한 알고 $\sf P$ vs $\sf NP$ 상대성 결과.

마지막으로 오라클을 쿼리하려면 쿼리 문자열을 작성해야합니다. $w$ 오라클 테이프에서 먼저. 따라서 일정 시간에 멤버십을 결정할 수 없지만 시간에 멤버십을 결정할 수 있습니다 $|w|$ .

— 슐츠
소스