쿠키 상자에 쿠키가 몇 개 있습니까? — 타일링 스타

휴가 시즌이 다가 오면서 나는 계피 스타 를 만들기로 결정했습니다 . 그것은 재미 있었고 (결과는 맛 있었지만) 상자에 별의 첫 번째 트레이를 넣을 때 내 속 괴상한 소리가 들렸습니다.

거의! 그들이 맞을 수있는 방법이 있습니까? 어쨌든 별을 얼마나 잘 타일 수 있습니까? 이것들이 규칙적인 6 각형 별이라는 것을 감안할 때, 우리는 잘 알려진 육각형 타일링을 다음과 같은 근사치로 사용할 수 있습니다.

^{오른쪽 위 하나를 엉망으로 만들었습니다.}

그러나 이것이 최적입니까? 팁 사이에는 충분한 공간이 있습니다.

이를 고려하여 직사각형 상자와 6 개의 규칙적인 별표로 제한하십시오. 즉, 모든 팁과 인접 구석 사이에 30도 (또는 )가 있습니다. 별은 내주 특징 및 외주 : rir$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ 출처 ]}

우리가 육각형이 있습니다 및 hexagrams에 대한 . 쿠키의 경우 이러한 극단을 고려하여 사이의 범위로 제한하는 것이 합리적이라고 생각합니다. .ri=$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$r$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

쿠키에는 결함을 무시하고 및 .r o ≈ 25 m $r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

위에서 특성화 한 별에 대한 최적의 타일링은 무엇입니까? 정적 최고의 타일링이없는 경우 좋은 타일링을 효율적으로 찾는 알고리즘이 있습니까?

hexagram 경우에 대한 귀하의 질문에 부분적으로 답변하겠습니다.

다음 타일링을 만들 수 있습니다

$\hskip1.2in$

이것으로 평면의 12 / 14 = 6 / 7을 다룰 것입니다 (사각형 사변형의 삼각형을 세십시오).

이것이 최적입니까? 그렇게 생각합니다. 증거를 제시하지는 않지만 몇 가지 주장을 제시 할 것입니다. 뾰족한 스파이크 사이의 공간 (삼각형)을 얼마나 잘 채울 수 있는지 물어볼 수 있습니다. 위의 타일링에서 절반을 채 웁니다. 더 잘할 수 있을까요?

$\hskip20mm$

2 개의 헥사 그램이이 공간과 교차 할 가능성이 있지만, 그 부분을 거의 증명하지 않습니다. 하나의 hexagram이 교차하는 경우 그림과 같이 팁이 다른 hexagram의 오목한 모서리에 닿는 것으로 가정합니다. 그렇지 않은 경우 교차 hexagram을이 모서리로 이동하여 개선 할 수 있습니다 (여기서는 증거가 없음). 이러한 가정 하에서, 좌우 접촉이있는 경우가 교차점을 최대화한다는 것을 알기가 어렵지 않습니다. 수학을 수행하면 교차 영역이 와 같다는 것을 알 수

이 함수의 도표는 다음과 같으며 직관이 옳았다는 것을 보여줍니다.

$\hskip30mm$

다음은이 예상치 못한 복잡한 문제에 대한 결정적인 또는 구체적 / 우수한 공격으로 제시되지는 않았지만 과학적 / 이론적 각도 / 일반적인 연구는 아직까지 다루지 않았다.

1 ^일 이 개 일반 영역 / 공지 된 바와 같이 분류된다 "빈 포장" 이것은 2 차원 경우입니다. 수세기 동안 열린 문제 였고 Hales의 컴퓨터 증명으로 "최근에"해결 된 구체 포장에 대한 케플러 의 3D 사례와 같은 수학의 유명한 증거가 있습니다 . 업계에서 매일 사용되는 2d 사례의 예는 칩 레이아웃을 최적화하는 것입니다. 분명히 이것은 문제와 다르지만 이러한 유형의 문제의 복잡성을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 2d 사례가 3d 사례보다 단순하다는 요구 / 지시가있는 이론은없는 것 같습니다. 또한 단순한 직사각형 경계가 다각형 경계 이외의 솔루션을 단순화하는 데 반드시 도움이되는 것은 아닙니다.

계산 규칙 등의 그리드에 배치하는 등의 문제 설명에 "정규 타일링"의 기본 정의 / 구성표가 제공된 경우 분석 솔루션이있을 수 있습니다.이 경우 미적분 방정식을 도출하고 최적으로 찾을 수 있습니다.

문제의 조건은 (직관적으로 직관적 일 수 있음) 분석적인 최적의 솔루션으로 이어지지 않는 것 같습니다. 이것은 비행기 타일링과 관련하여 매우 유사한 일부 문제에 대해 놀라운 일이 될 수 있습니다 (이것은 몇 년 전에 유명한 결과였으며 많은 참조와 지속적인 연구가 있습니다). 결정 가능한 (해결 가능 / 분석) 문제와 결정 불가능한 문제의 주요 차이점은 바둑판 식 배열이 "정규"인지 여부입니다. 위의 문제는 "일반 별"과 관련이 있지만 "일반 타일링"과는 관련이 없습니다. 다른 현재 답변은 일종의 규칙적인 타일링 또는 순서를 가정하지만 "정규 타일링"을 정의하는 것조차 공식적으로 / 수학적으로 매우 까다로울 수 있습니다.

이와 같은 문제는 일반적으로 유전자 알고리즘에 상당히 적합합니다 . 이러한 알고리즘은 많이 개선 될 것 같지 않은 "매우 좋은"패킹을 찾을 수 있으며, 매우 독창적 인 방법을 통해 최적의 한계에 도달 할 수 있지만 (아마도 최적의 작은 오류 퍼센트 내에 있어야 함) 최적입니다.

다음은 일반적으로 직접 적용 할 수있는 참조입니다.

• 유전자 알고리즘의 사용 예. 다각형 / 제이콥 패킹을위한 유전자 알고리즘

• 기하학적 패킹 및 스케일링 문제에 대한 알고리즘 박사 논문 / Michael Formann 1992, 92p, sec 3.6 스케일링 별 모양의 x- 모노톤 객체 p30

• 임의의 형태 / ARFATH PASHA 2003 대학원 논문 87p에 대한 기하학 빈 포장 알고리즘

• 이 스택 교환 질문도 가깝습니다. 임의의 경계 내에 임의의 다각형을 패킹합니다 . 그것은 임의의 경계를위한 것이다

이 특정 문제는 아직 연구되지 않았지만 Laszlo Fejes Toth가 이러한 질문을했으며 포장 문제로 알려져 있습니다. 나는 Pach-Agarwal 책 의 세 번째 장을 강력히 추천합니다 .