왜 PSPACE ≠ EXPTIME이라고 믿습니까?

PSPACE가 일반적으로 EXPTIME과 다른 이유를 직관적으로 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다. PSPACE가 입력 크기 의 공간 다항식에서 해결할 수있는 문제의 집합 인 경우 지수 시간이 더 크게 발생하고 지수 공간을 사용하지 않는 일련의 문제 가있을 수 있습니까? $f(n)$

Yuval Filmus의 답변은 이미 매우 도움이됩니다. 그러나 PSPACE ≠ EXPTIME (예 : PSPACE가 EXPTIME의 적절한 서브 세트가 아님) 인 경우 왜 내 느슨한 주장을 스케치 할 수 있습니까? 입력 크기에 따라 다항식으로 확장 가능한 공간으로 달성 할 수있는 총 시스템 구성 수에 대한 상한을 초과하기 위해 지수 공간이 필요하지 않습니까? 말하자면 EXPTIME ≠ EXPSPACE가 공개적인 이유를 이해할 수 있지만 PSPACE와 EXPTIME의 관계에 대한 이해가 부족합니다.

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— 사용자
소스

정의를 새로 고칩니다.

PSPACE 는 다항식 공간 경계가있는 결정 성있는 Turing 기계에서 해결할 수있는 문제의 클래스입니다. 즉, 이러한 각 문제에 대해 입력 길이가 길 때 최대 $p(n)$ 테이프 셀을 사용하여 문제를 결정하는 기계가 있습니다. 일부 다항식 입니다. $n$ $p$
EXP은 지수 시간 경계와 결정적 튜링 기계에 해결 될 수있는 문제의 클래스 각각의 이러한 문제에 대한 대부분의 사용 문제 판정 기계가 $2^{p(n)}$ 입력 길이를 가질 때 단계 $n$ 에 대해는, 일부 다항식 $p$ .

먼저,이 두 클래스는 동일 할 수 있습니다. 예를 들어 2004 년에 Reingold는 대칭 로그 공간이 일반 로그 공간과 동일하다는 것을 증명했습니다. 1987 년 Immerman과 Szelepcsényi는 독립적으로 NL $\;=\;$ co-NL (실제로 NSPACE [ $f(n)$ ] $\;=\;$ $f(n)$ )에 대해 co-NSPACE [ ] . $f(n)\geq \log n$

그러나 현재 대부분의 사람들은 PSPACE 와 EXP 가 다르다고 생각합니다 . 왜? 두 가지 복잡한 클래스에서 우리가 할 수있는 것을 살펴 보자. PSPACE 의 문제점을 고려하십시오 . 우리는 길이가 인 입력을 풀기 위해 테이프 셀을 사용할 수는 있지만 시간 제한에 의해 지정된 EXP 와 비교하기는 어렵습니다 . $p(n)$ $n$

PSPACE 문제에 얼마나 많은 시간을 사용할 수 있습니까? 테이프 셀 에만 쓰면 이진 알파벳을 가정 할 때 테이프에 나타날 수 있는 다른 문자열이 있습니다. 테이프 헤드는 개의 다른 장소에있을 수 있으며 튜링 기계는 다른 상태 중 하나에있을 수 있습니다 . 따라서 총 구성 수는 $p(n)$ $2^{p(n)}$ $p(n)$ $k$ $T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$ . 비둘기 구멍 원리에 따르면 단계로 실행 하면 구성을 두 번 방문해야하지만 기계가 결정적이므로 반복적으로 반복되어 동일한 구성을 자주 방문합니다. 멈춰. PSPACE 에있는 정의의 일부는 문제 를 결정 해야한다는 것이므로 종료되지 않은 시스템은 PSPACE 문제를 해결하지 못합니다 . 즉, PSPACE 는 최대 공간과 최대 사용하여 결정할 수있는 문제의 클래스입니다. $T(n)+1$ $p(n)$ 는 최대 인 시간 어떤 다항식 . 우리는 그PSPACE를보여주었습니다 $k\,p(n)\,2^{p(n)}$ $2^{q(n)}$ $q$ $\;\subseteq\;$ EXP .

EXP 문제에 얼마나 많은 공간을 사용할 수 있습니까? 글쎄, 우리는 스텝 이 허용 되며 Turing 머신의 헤드는 각 스텝에서 한 위치 만 움직일 수 있습니다. 머리보다 더 이동할 수 없기 때문에 위치, 우리는 많은 테이프 세포를 사용할 수 있습니다. $2^{p(n)}$ $2^{p(n)}$

차이점은 PSPACE 와 EXP 가 지수 시간으로 해결할 수있는 문제이지만 PSPACE 는 다항식 공간 사용으로 제한되는 반면 EXP 는 지수 공간을 사용할 수 있다는 것입니다. 그것은 이미 EXP 가 더 강력해야 함을 암시합니다 . 예를 들어, 그래프에 대한 문제를 해결하려고한다고 가정하십시오. PSPACE 에서는 정점의 모든 하위 집합을 볼 수 있습니다 ( 부분 집합을 쓰려면 비트 만 소요됨 ). 일부 작업 공간을 사용하여 각 서브 세트에서 계산할 수 있지만 서브 세트에 대한 작업을 완료 한 후에는 해당 작업 공간을 지우고 다음 서브 세트에 다시 사용해야합니다. 에서 EXP $n$ 반면에 모든 하위 집합을 볼 수있을뿐만 아니라 작업 공간을 재사용 할 필요가 없으므로 각 하위 집합에 대해 배운 내용을 기억할 수 있습니다. 더 강력해야 할 것 같습니다.

그것들이 다른 이유에 대한 또 다른 직감은 시간과 공간 계층 구조 이론에 따르면 조금 더 많은 공간이나 시간을 허용하면 계산할 수있는 것을 엄격하게 증가 시킨다는 것입니다. 계층 구조 정리는 다음과 같은 방식으로 만 비교할 수 있습니다 (예 : PSPACE $\;\subsetneq\;$ EXPSPACE 와 P $\;\subsetneq\;$ EXP ) 따라서 PSPACE 와 EXP에 직접 적용되지는 않지만 더 많은 리소스가 더 많은 문제를 해결할 수 있음을 의미하는 강력한 직관을 제공합니다.

— 데이비드 리처 비
소스

EXPTIME이 지수 공간을 허용한다면, EXPSPACE가 초 지수 시간에 해결 될 수있는 문제를 허용하기 때문에 EXPTIME이 EXPSPACE의 적절한 서브 세트 인 것이 사실이라고 생각할 수 있습니까?

— user25876

그것이 사실이라면, 나는 모든 것이 나에게 의미가 있다고 생각합니다. 어떤 이유로 나는 EXPTIME이 지수 공간의 사용을 금지한다고 가정했지만, 그렇지 않습니다. 이것은 나의 혼란이 시작된 곳입니다.

— user25876

나는 당신의 서브셋 예제를 좋아합니다. IIRC는 정확히 온라인에서 계산할 수없는 문제 (완전한 정보와 함께)를 알고 있으므로 모든 요소를 메모리에 보관해야합니다. 직관적으로 말하기.

— Raphael

@ user25876 예, PSPACE 시스템이 지수 시간을 사용할 수 있다는 동일한 인수는 EXPSPACE 시스템이 이중 지수 시간 (즉,

사용할 수 있음)을 말합니다 .

2^{2^{p o l y} (n)}

$2^{2^\mathrm{poly}(n)}$

— David Richerby

@DavidRicherby 나는 당신의 대답을 받아들입니다. PSPACE를 EXPTIME의 적절한 하위 집합으로 증명하거나 반증하기위한 기술적 장벽을 논의하는 BTW 문서를 알고 있습니까? 나는 실제로 그것에 대해 매우 궁금하다.

— user25876

지수 시간으로 실행되는 기계는 지수 공간을 사용할 수 있습니다. 따라서 다항식 공간으로 제한된 기계는 약할 수 있습니다. 다항식 시간에 실행되는 기계는 다항식 공간을 사용할 수 있으므로 우선 로그 공간으로 제한된 기계가 약할 수 있습니다. P가 L의 비결정론 적 유사 체인 NL과 다르다는 추측도있다. 현재 추측 EXPTIME PSPACE는 패딩 인수를 통해 P NL을 의미하므로 더 강력합니다 . $\neq$ $\neq$

— 유발 필름 러스
소스