다항식 실행 시간에 대한 n * log n 및 n / log n

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이 보다 빠르며 보다 느리다는 것을 이해합니다 . 이해하기 어려운 것은 실제로 및 을 와 입니다. $\Theta(n)$ $\Theta(n\log n)$ $\Theta(n/\log n)$ $\Theta(n \log n)$ $\Theta(n/\log n)$ $\Theta(n^f)$ $0 < f < 1$

예를 들어, 대 또는 어떻게 결정합니까? $\Theta(n/\log n)$ $\Theta(n^{2/3})$ $\Theta(n^{1/3})$

그런 경우에 진행할 방향을 알려 드리고자합니다. 감사합니다.

asymptotics mathematical-analysis landau-notation

— 미사 테
소스

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몇 개의 그래프 만 그리면 모양이 좋아집니다. Wolfram Alpha는 이러한 종류의 조사에 유용한 자료입니다.

방정식

그래프

이 링크에 의해 생성됩니다 . 그래프에서 log (x)는 자연 로그입니다. 그래서 하나의 그래프 방정식이 약간 재미있게 보입니다.

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오, 제발 안돼!

— Raphael

Raphael에 동의하는 것 외에도이 그림은 훨씬 더 나은 아이디어를 제공합니다. 더 큰 범위를 선택하면 두 번째 기능이 사라져 혼란 스러울 수 있습니다.

— phant0m

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은 의 역입니다. 유한 크기에 관계없이다항식 보다 이 빠르게 증가하는것처럼, 은0이 아닌 양수 크기에 관계없이다항 함수 보다 느리게 성장합니다. $\log n$ $2^n$ $2^n$ $n^k$ $k$ $\log n$ $n^k$ $k$

vs , 경우 : vs $n / \log n$ $n^k$ $k < 1$ $n / \log n$ $n / n^{1-k}$

로 큰 위해 , 에 대한 큰 . $n^{1-k} > \log n$ $n$ $n / \log n > n^k$ $k < 1$ $n$

— 태 드린
소스

3

많은 알고리즘의 경우 상수가 다르므로 데이터 크기가 작을수록 속도가 느려지거나 알고리즘 복잡성에 따라 정렬이 잘되지 않는 경우가 있습니다.

우리가 초대형 데이터 크기 만 고려한다면 , 즉. 사람이 결국 승리하는 후 O(n^f)보다 빠른 것입니다 O(n/log n)에 대한 0 < f < 1.

알고리즘의 복잡성의 대부분은 따라서 그 알고, 결국 빠르게하는 알고리즘을 결정하는 것 O(n^f)보다 더 빠릅니다 O(n/log n)위해 0 < f < 1종종 충분하다.

일반적인 규칙은 log n로 곱하기 (또는 나누는) n^f는 any 에 대한 곱하기 (또는 나누는)와 비교하여 무시할 수 있다는 것 f > 0입니다.

이것을 더 명확하게 보여주기 위해 n이 증가함에 따라 어떤 일이 일어나는지 고려해 봅시다.

   n       n / log n         n^(1/2)
   2        n/ 1              ?
   4        n/ 2             n/ 2
   8        n/ 3              ?
  16        n/ 4             n/ 4
  64        n/ 6             n/ 8
 256        n/ 8             n/16
1024        n/10             n/32

어느 것이 더 빨리 줄어드는가? 그것은이다 n^f열입니다.

하더라도 f가까운 1되었으며, n^f열은 느리게 시작되지만 n 개의 더블로, 분모의 변화의 속도는의 분모 반면, 속도를 n/log n일정 속도로 변화에 열이 나타납니다.

그래프에 특정 사례를 그려 봅시다

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

출처 : Wolfram Alpha

나는 1에 매우 가까운 O(n^k)것을 선택 했다 . 또한 처음 에는 느리 도록 상수를 선택했습니다 . 그러나 결국 "승리"하고 시간보다 시간이 적게 걸립니다 .k0.9O(n^k)O(n/log n)

— ronalchn
소스

n / log n

그것은 약간의 오타였습니다. 그것이 처음에 의미했던 것입니다. 어쨌든, n^k상수를 선택하더라도 처음에는 느리더라도 결국 더 빨라지 는 더 적절한 그래프를 추가했습니다 .

3

$n^f$ $\dfrac{n}{n^{1-f}}$ $n^{2/3}=n/n^{1/3}$

\frac{n}{\log n} vs. \frac{n}{n^{1 - f}} .

$\frac{n}{\log n} \quad \text{vs.} \quad \frac{n}{n^{1-f}}.$

$\log n$ $n^\varepsilon$ $\varepsilon>0$

— 슐츠
소스

1

실행 시간을 비교할 때는 항상 큰 값 n을 사용하여 비교하는 것이 좋습니다. 나에게 이것은 어떤 기능이 더 느린 지 직관을 구축하는 데 도움이됩니다.

귀하의 경우 n = 10 ^ 10 및 a = .5를 생각하십시오.

O(n/logn) = O(10^10/10) = O(10^9)
O(n^1/2) = O(10^10^.5) = O(10^5)

따라서 O (n ^ a)는 O (n / logn)보다 빠릅니다. 0 <a <1 인 경우 하나의 값만 사용했지만 여러 값을 사용하여 함수에 대한 직관을 구축 할 수 있습니다

1

글을 쓰지 말고 O(10^9)직관을 세우기 위해 숫자를 시도하는 것에 대한 요점은 옳습니다.

불합격. 이것은 정확하지 않습니다. 편향 될 수있는 단일 n 상수를 대체했습니다. 다른 상수를 선택하면 알고리즘을 더 잘 보이게 만들 수 있습니다. Big O 표기법은 장기적으로 더 빠른 추세를 설정하는 데 사용됩니다. 이렇게하려면 n이 작을 때 더 느리더라도 큰 n에 대해 더 빠름을 보여줄 수 있어야합니다.

감사. 여러 값을 추가하고 더 큰 숫자를 고려함

상수 a에 대한 f (a)> g (a) 때문에 반드시 O (f (x))> O (g (x))를 의미하지는 않습니다. 이것은 직관을 구축하는 데 유용하지만 엄격한 증거를 작성하기에는 충분하지 않습니다. 이 관계가 유지됨을 나타내려면 하나의 큰 n이 아니라 모든 큰 n에 대해이 사실을 나타내야합니다. 마찬가지로, 양의 차수가 1

1

$f \prec g$

n^{α_{1}} (\log n)^{α_{2}} (\log \log n)^{α_{3}} ≺ n^{β_{1}} (\log n)^{β_{2}} (\log \log n)^{β_{3}} ⟺ (α_{1}, α_{2}, α_{3}) < (β_{1}, β_{2}, β_{3})

$n^{\alpha_1}(\log n)^{\alpha_2}(\log \log n)^{\alpha_3} \prec n^{\beta_1}(\log n)^{\beta_2}(\log \log n)^{\beta_3} \Longleftrightarrow (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) < (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$

$(2, 10) < (3, 5)$ $(2, 10) > (2, 5)$

귀하의 예에 적용 :

$\mathcal{O}(n/\log n) \Rightarrow (1, -1, 0)$

$\mathcal{O}(n^{2/3}) \Rightarrow (2/3, 0, 0)$

$\mathcal{O}(n^{1/3}) \Rightarrow (1/3, 0, 0)$

(1 / 3, 0, 0) < (2 / 3, 0, 0) < (1, - 1, 0) \Rightarrow O (n^{1 / 3}) ≺ O (n^{2 / 3}) ≺ O (n / \log n)

$(1/3, 0, 0) < (2/3, 0, 0) < (1, -1, 0)\\ \Rightarrow \mathcal{O}(n^{1/3}) \prec \mathcal{O}(n^{2/3}) \prec \mathcal{O}(n/\log n)$

n의 거듭 제곱은 로그의 거듭 제곱을 지배하며, 이는 로그 로그의 힘을 지배합니다.

출처 : 콘크리트 수학, p. 441

— 팬트
소스