중단되지 않으며 종료 방지 증거가없는 프로그램이 있습니까?

컴퓨터 과학의 블랙홀처럼. 우리는 그것들이 존재한다는 것을 알 수 있지만 그들 중 하나가있을 때 우리는 그것이 그들 중 하나라는 것을 절대 알 수 없습니다.

실제로 이와 같은 프로그램이 있습니다. 이를 증명하기 위해 정지하지 않는 모든 기계에 대해 정지하지 않았다는 증거가 있다고 가정합시다.

이 증거는 우리가보다 적은 길이의 모든 증거를 열거 할 수 있습니다, 유한 길이의 문자열 일부 정수 의 .$s$$s$

그런 다음이를 사용하여 정지 문제를 다음과 같이 해결할 수 있습니다. Turing Machine 과 입력 x가 주어지면 다음 알고리즘을 사용합니다.$M$$x$

s := 0
while (True)
    test if machine M halts on input x in s steps
    look at all proofs of length s and see if they prove M doesn't halt on input x
    set s := s + 1

경우 입력에 정지하는 X , 다음은 일부 단계에서 한정된 수의 정지 의 알고리즘이 종료되도록.$M$$x$$s$

경우 입력에 정지하지 않는 X , 다음 우리의 가정에 의해, 일부 증거 길이 거기 의 하는 증거가 어디 M이 정지를하지 않는가. 따라서이 경우 알고리즘은 항상 종료됩니다.$M$$x$$s$$M$

따라서 항상 종료되는 Halting 문제를 결정하는 알고리즘이 있습니다. 그러나 우리는 이것이 존재할 수 없다는 것을 알고 있으므로 정지하지 않는 증거가 항상 있다는 가정은 거짓이어야합니다.

좀 더 구체적인 예를 들어, 증명을 위해 사용하는 이론은 다음과 같은 특징이 있다고 가정합니다.

1. 그것은이다 일관된 ; 즉, 모순을 증명할 수 없습니다.
2. 그것의 공리 세트는 재귀 적으로 열거 가능하다.
3. 그 증거는 유한 비트 열로 기록 될 수 있습니다.
4. 주어진 문자열이 올바른 형식으로 올바른 증거를 인코딩하는지 여부에 대한 질문은 유한 시간 내에 알고리즘 적으로 결정할 수 있습니다.
5. 그것은 괴델의 두 번째 불완전 성 정리에 대한 증거를 인정할만큼 충분히 표현 적 이며, 그것은 자신의 일관성을 증명할 수 없다고 말합니다.

이러한 가정을 통해 다음 프로그램은 중단되지 않지만 중단하지 않는 것으로 증명할 수는 없습니다 (우리가 사용하는 이론의 범위 내에서).

let k := 0;
repeat:
    let k := k + 1;
    let s := binary expansion of k, excluding leading 1 bit;
while s does not encode a proof of a contradiction;
halt.

여기서 중요한 세부 사항은 위의 첫 번째 가정, 즉 우리가 증명에 사용하는 이론이 일관성이 있다는 것입니다. 분명히, 우리는 우리의 증거는 아무 것도 가치가있을 때까지,이 가정해야하지만 괴델의 두 번째 불완전 성 정리는 합리적으로 표현하고 효과적으로 axiomatized 이론, 그 말한다, 우리가 실제로 이것을 증명할 수 (일부 아마도 제외시켰다 다른 그 다음 일관성 우리를, 이론 등을 가정해야 함).