동형 그룹화를위한 동형 그룹화

계산 복잡성에 대한 일부 블로그를 읽을 때 (예 : 여기 ) 두 그룹이 동형인지 판단하는 것이 동형에 대한 두 개의 그래프를 테스트하는 것보다 쉽다는 개념을 동화했습니다. 예를 들어, 명시된 페이지에서 그래프 동형은 그룹 동형보다 더 일반적인 문제라고 말합니다.

따라서 나는 다음을 포즈

그룹 감안할 때 캔 누군가가 그래프의 건설 제공 Γ ( G ) 의 크기 다항식의를 | G | 되도록 Γ ( G ) ≅ Γ ( H $G$$\Gamma(G)$$|G|$ 그룹 G 및 H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

축소는 밀러 의 고전 논문 에 설명되어 있습니다.

그렇게 빠르지 않습니다. 여기에 큰 모호한 모호성이 있습니다.

계산을 위해 그룹을 어떻게 입력합니까?

그래프와 달리 그룹은 입력 크기와 결과 복잡성면에서 크게 다른 수단이 될 수 있습니다. Miller에서 인용 된 버전은 가장 자연스러운 버전 중 하나이며, 예를 들어 GAP, Magma 또는 Sage와 같은 컴퓨터 대수 시스템에서는 찾을 수 없습니다. 따라서 이론적 전제가 있지만 문제를 해결하기에는 너무 멀었습니다.

1. 생성기 및 관계 : 그룹 동형은 결정 불가능합니다 (그래프 동형은 결정 가능).

$G$$G=1$

제너레이터와 관계에 의해 입력 된 그룹의 경우 : 그룹 동형은 그래프 동형보다 어렵습니다. 실제로는 결정 불가능합니다.

2. 소프트웨어 시스템에서 사용되는 입력 : 순열의 그룹 동형 및 매트릭스 그룹은 최소한 그래프 동형 (단순한 방법은 아님)만큼 어렵습니다.

$p$

소프트웨어 시스템에 대한 그룹 입력의 경우 : 그룹 동 형사상은 최소한 그래프 동 형사상만큼 어렵습니다.

3. 이론적 복잡성 입력 : 블랙 박스 그룹 입력의 경우 그룹 동 형사상은 NP 또는 co-NP 인 것으로 알려져 있지 않습니다 (그래프 동 형사상은 둘 다에 있음).

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$유효한 동형입니다. 최소한 그룹의 프리젠 테이션이 필요한 것 같지만 쉽게 얻을 수 없습니다.

블랙 박스 그룹의 경우 : 그룹 동 형사상은 최소한 그래프 동 형사상만큼 어렵습니다.

4. 케이 일리 테이블 입력.

1970 년대 Tarjan, Pultr-Hederlon, Miller 등에서 전체 곱셈표에 의해 입력 된 그룹도 그래프로 취급 될 수 있음을 관찰했습니다. 이런 식으로 그룹 동 형사상은 다항식 시간에서 동 형사상을 그래프로 줄입니다. Miller는 수많은 조합 구조가 Steiner 트리플과 같은 방식으로 동일한 것을 수행한다는 사실을 관찰하면서 훨씬 더 나아갔습니다. 그는 또한 반 그룹 동형이 그래프 동형과 동일하다는 것을 증명했다.

$n^{O(\log n)}$

Cayley 테이블의 경우 : 그룹 동형이 그래프 동형으로 감소합니다.

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$