숫자와 같은 이항 계수를 찾는 복잡성

이진수 인코딩에서 비트를 사용하여 숫자 얻는다고 가정하십시오 .O ( 로그 m $m$$O(\log m)$

얼마나 빨리 찾기 (또는 존재하지 않는 결정) 할 수

예를 들어, 입력 m = 8436285가 주어지면, n = 27, k = 10을$m=8436285$ 출력 할 수 있습니다 .$n=27, k=10$

문제에 대한 순진한 알고리즘은 n의 가능한 모든 값을 검토 하고 속성을 만족시키는 k$n$ 값을 검색 합니다.$k$

간단한 관찰 필요 값이 확인 없음이다 $n$ 보다 작은 $\log m$ 또는보다 큰 $O(\sqrt m)$ . 그러나 ( n 값 당 $O(1)$ 가능한 $k$ 값만 확인할 수 있더라도 ) 이것은 입력 크기에서 지수적인 비효율적 인 알고리즘으로 끝납니다.$n$

다른 방법은 k 의 가능한 값 $k$( \ {2,3, \ ldots, 2 \ log m \} 을 확인하기에 충분 함 $\{2,3,\ldots,2\log m\}$)과 가능한 $n$ 값을 확인할 때마다 확인하는 것입니다 . 그러면

따라서 주어진 $k$ 대해 [\ sqrt [\ leftroot {-2} \ uproot {2} k] {m \ cdot k!}, \ sqrt [\ leftroot {-2} \ 범위의 $n$ 값만 확인 하면 됩니다 $[\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m\cdot k!},\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m}\cdot{k}]$ , 이진 검색을 사용하면 ( $k$ 가 고정되고 $n \choose k$ cho k 가 단조롭게 증가하는 경우 $n$ ) $O(\log^2m)$ .

이것은 여전히 ​​비효율적 인 것으로 보이며 이것이 선형 시간 (입력 크기)으로 해결할 수 있다고 생각합니다.

(nk) ^ k <{n \ choose k} 는 사실이 아닙니다 $(n-k)^k<{n\choose k}$. 예를 들어 ${9\choose 2} = 36 < 49 = (9-2)^2$ 입니다.

나는 이항 계수의 산술 속성을 사용하여 미묘한 솔루션을 찾지 못했지만 도움이된다면 다소 무차별 한 것을 제안 할 수 있습니다.

각 에 대해 초기 추측 (예 : ) 을 취하고 Newton-Raphson과 같은 분석 방법을 사용하여 을 풀 수 있습니다. 을 풀고 싶습니다 . 대한 왼쪽의 미분 값 은 여기서 는 디 감마 함수이므로 계산하기 쉽습니다. .n k $k$$n$($\sqrt[k]{k!\cdot m}$n${n\choose k} - m = 0$$n$$(\psi(n+1)-\psi(n-k+1)){n\choose k}$$\psi$

Newton-Raphson 검색의 복잡성은 함수와 그 파생물을 계산하는 복잡성과 솔루션에 필요한 자릿수 (이 경우 가장 가까운 정수만 필요)에 따라 다릅니다.

그래서 전반적으로 각각 검색을해야합니다 , 대한 경계를 사용하여 알고리즘 따라서 총 복잡성 (당신은 이항 계수를 계산하는 것은 일정한 시간이 걸립니다, 할 것 같다로서, 가정) 것을 .O ( 1 ) K의 O ( 로그 ( m ) $k$$O(1)$$k$$O(\log(m))$