"한 방향성"콘서트에서 길을 잃었다

당신과 친구가 콘서트 라인에서 서로를 잃었고, 어느 쪽이 더 앞서 있는지 확실하지 않습니다. 공식적으로, 각각은 정수 좌표에 있으며 더 높은 좌표를 향해 걸어가거나 제자리에 머물 수 있습니다.

당신과 당신의 친구가 똑같은 알고리즘을 따르고 있다고 가정하고 (아니면, "if (name =="R B ") 무언가를 수행하지 않을 수도 있습니다 :)) 두 사람 사이의 초기 거리는 였습니다 (이것은 아닙니다 당신에게 알려진). $x$

나와 친구가 만날 때까지 예상 보행 거리를 최소화하는 알고리즘은 무엇입니까?

친구와 자신이 같은 속도로 움직이고 있다고 가정 할 수 있습니다.

간단한 알고리즘의 예는 다음과 같습니다.

단계 ( 에서 시작 ) : $n$ $0$

오른쪽 WP에 단계를 걸어 $3^n$ 또는 기다려야달리 시간 단위. $\frac{1}{2}$ $3^n$

$(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

$\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ $\frac{1}{4}$

$3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

$c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

불행하게도,이 알고리즘은 친구들이 확률 1을 만날 것을 보장하지만, 예상 보행 거리는 무한하며, 가능하다면 피하고 싶은 것입니다.

더 효율적인 알고리즘이 있습니까?

algorithms randomized-algorithms

— RB
소스

"예상 보행 거리"라고 말할 때-최악의 경우 알고리즘이 확률이 높거나 입력에 대한 분포를 가정합니까? 또한-알고리즘이 항상 정확하거나 wp 1이어야합니까? (또는 이하?)-여기에 제시 한 알고리즘이 멈추지 않을 수도 있습니다 (그러나 wp 0)

— Shaull

이는 선형 검색 문제 ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ) 와 유사합니다 .

— Yuval Filmus

@Shaull-두 친구가 모두 같은 알고리즘을 따르고 있기 때문에 확률 적이거나 절대 만나지 않을 것입니다. 알고리즘의 무작위 화에 대한 기대가 있습니다.

— RB

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

@ 0a-archy-우리는 둘 다 같은 속도로 움직이고 있다고 가정합니다 (1 둡니다)

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

$k$ $q$ $1$ $2$ $3$

$q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

$q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

$q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

따라서 예상 보행 거리는 다음과 같습니다.

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

$2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ 훨씬 더 강한 재산이며 그것을 만족시키는 해결책을 찾는 것은 불가능하다고 생각합니다.

— 데이비드 더 럴먼
소스