min-heap automata에서 허용되는 언어의 역 분개에 따른 폐쇄 증명

이것은의 후속 질문 이 하나 .

이국적인 상태 머신 에 대한 이전 질문 에서 Alex ten Brink와 Raphael은 고유 한 상태 머신의 계산 기능 : 최소 힙 오토마타를 다루었습니다. 그들은 그러한 기계들 ( $HAL$ )에 의해 받아 들여진 언어 세트가 문맥이없는 언어 세트의 서브 세트도 아니고 수퍼 세트도 아님 을 보여줄 수 있었다 . 그 질문에 대한 성공적인 해결책과 명백한 관심을 고려할 때 몇 가지 후속 질문을 계속 진행합니다.

정규 언어는 다양한 작업 (우리는 노조, 교차, 보완, 차이, 연결, 킨 스타 및 반전과 같은 기본 작업으로 제한 할 수 있음)으로 닫히는 것으로 알려져 있지만 컨텍스트가없는 언어는 서로 다른 클로저를 가지고 있습니다 속성 (이것은 노동 조합, 연결, 킨 스타 및 반전으로 폐쇄됩니다).

HAL이 취소되어 폐쇄됩니까?

언어 (여기서 # 0 ( x ) 는 x 의 0 수를 나타냄 ).

$$L_{\times 2} = \big\{ x\bot y\bot z \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $\#_0(x)$$x$

HAL 기계를 사용하여 를 결정하는 것은 쉽습니다 . 기계는 x 대 y 의 제로 수 와 x , y 의 길이 (vs z ) 의 두 가지 특성을 추적해야합니다 . x 에서 볼 때마다 0으로 힙에 a 를 넣을 수 있습니다 (그리고 나중에 y 에서 볼 때 0으로 팝 ). 또한 x , y의 비트를 푸시 합니다 (나중에 z 비트는 팝 ). 모든 s가 힙 아래로 밀리므로 카운트를 방해하지 않습니다 . $L_{\times 2}$$x$$y$$x,y$$z$0$x$0$y$1$x,y$1$z$10$\bot$ 구분자로 사용되며 실제로 무시할 수 있습니다.

이제 하자 . 즉, L = { z ⊥ y ⊥ x ∣ x , y , z ∈ { 0 , 1 } , # 0 ( x ) = # 0 ( y )  및  | x | + | y | = z } 우리는 HAL 머신이 L 을 결정할 수 없음을 보여줄 것이다 .$L = L_{\times 2}^R$

$$L = \big\{z\bot y \bot x \mid x,y,z\in \{0,1\}, \#_0(x)=\#_0(y) \text{ and } |x|+|y|=z\big \}$$ $L$

직관은 다음과 같습니다. 위와 같이, 기계는 의 길이 와 x , y 의 0 수를 모두 추적해야합니다 . 그러나이 경우 동시에 추적해야합니다 . 힙을 통해 수행 할 수 없습니다. 자세한 내용은 z 를 읽은 후 힙에 | x | + | y | . y 를 읽는 동안 기계는 힙에 0의 숫자를 y로 유지해야합니다 . 그러나이 정보는 힙 이미 정보에 방해가 우리가 기대 길이에있다 할 수 $z$$x,y$$z$$|x|+|y|$$y$$y$$x$되려고. 매우 직관적으로, 0의 수에 대한 정보 중 하나는의 길이에 대한 정보 "아래"입니다 , 그리고 읽는 동안 우리는 그것을 액세스 할 수 있는 X를 하거나 그 정보를 "위"입니다, 후자의 액세스를 렌더링, 또는 두 정보는 "혼합"되어 의미가 없어집니다.$x$$x$

보다 공식적으로, 우리는 일종의 "펌핑"인수를 사용할 것입니다. 즉, 우리는 매우 긴 입력을 받아 입력을 처리하는 동안 머신의 "상태"가 스스로 반복되어야한다는 것을 보여 주므로, 머신이 "상태"를 반복하면 입력을 "대체"할 수 있습니다.

공식적인 증거를 위해 HAL 기계의 구조를 단순화해야합니다. 즉, 전환 1 "루프"를 포함하지 않습니다 . 이 가정을 통해 기계가 처리하는 모든 입력 심볼에 대해 힙의 내용이 최대 c 만큼 증가 / 감소 할 수 있음을 알 수 있습니다 (충분히 큰 상수 c ).$\varepsilon$$^1$$c$$c$

증명. H 가 L을 결정 하고 충분히 긴 입력 (예를 들어, 길이 4 n , 따라서 | x | = | y | = n , | z | = 2 n )을 고려
한다고 가정하자 ( 이하 ⊥ s 무시 ). 구체적으로 z , y를 수정 하고 # 0 ( y ) = n / 2 라고 가정하십시오 . ( n 이 있음을 관찰$H$$L$$4n$$|x|=|y|=n$$|z|=2n$$\bot$$z,y$$\#_0(y) = n/2$다른(X)의되도록Z⊥Y⊥X∈L.${n \choose n/2}$$x$$z\bot y \bot x \in L$

처리 한 직후 힙의 내용을 고려하십시오 . 여기에는 최대 3 n c 기호 (여기서 각 기호는 고정 알파벳 Γ )가 포함됩니다. 그러나 ($z\bot y$$3nc$$\Gamma$서로 다른x's(허용되는 힙의 가능한 다른 내용의 양보다 기하 급수적으로 증가하는 반면, 힙의 수는 다 항적으로 증가하지만 힙의 수가 다를수록 증가합니다). 수용해야 할두 개의 입력x1,x2를취하여다음을 유지하십시오.${n \choose n/2}$$x's$$x_1,x_2$

1. x 1 의 길이 의 접두사 는 동일한 길이 의 x 2 의 접두사와 다른 수의 0을 갖습니다 .$n/2$$x_1$$x_2$
2. 기계가 x 부분 의 길이 의 접두사를 읽을 때까지 힙은 x 1 과 x 2 모두 동일하게 보이고 기계는 동일한 상태에 있습니다 (이는 일부 x 1 에서 발생해야합니다 . X 2 , 충분히 큰 대 N ,이 이상만큼 2 개 0.8 N 가지 옵션 2 에 대한 X 1 , X 2 및 최대 ( 3.5 C의 N ) | Γ | |$n/2$$x$$x_1$$x_2$$x_1,x_2$$n$$2^{0.8n}$$^2$$x_1,x_2$힙 내용 및 상태에 대한 다른 옵션 3 ).$(3.5cn)^{|\Gamma|}|Q|$$^3$

기계는 단어 를 수용해야합니다 . 여기서 x p 1 은 길이 n / 2 의 x 접두사 이고 x s 2 는 같은 길이 의 x 2 접미사입니다 . 참고에 0의 수 (X)의 P 1 (X) 의 2 에서 0의 수와 다르다 X 1 및 X 2 로부터 ( # 0 ( $z\bot y \bot x_1^px_2^s$$x_1^p$$x$$n/2$$x_2^s$$x_2$$x_1^px_2^s$$x_1$$x_2$$\#_0(y)$$x_1$$x_2$

$^1$
$^2$ ^{$x_1$$n/2$$n/4$$\log {n \choose k} \approx nH(k/n)$ where $H()$ is the Binary entropy funciton. Since $H(1/4) \approx 0.81$ we have ${n \choose n/4} > 2^{0.8n}$ for large enough $n$.}
$^3$ ^{Assuming alphabet $\Gamma$, there are $|\Gamma|^n$ different strings of length $n$, so if this was a stack we were screwed. However, pushing "01" into a heap is equivalent to pushing "10" - the heap stores only the sorted version of the content. The number of different sorted strings of size $n$ is ${n+1 \choose |\Gamma|-1}\approx n^{|\Gamma|}$, for a constant $|\Gamma|$.}