컴퓨터 과학에서 선형 대수학의 어떤 부분이 사용됩니까?

컴퓨터 공학 자료 (주로 기계 학습)를 이해하는 데 도움을주기 위해 Linear Algebra와 해당 응용 프로그램 을 읽었 지만 CS에 유용한 정보가 많지 않을까 걱정하고 있습니다. 예를 들어, 선형 방정식 시스템을 효율적으로 해결하는 방법을 아는 것은 새로운 방정식 솔버를 프로그래밍하지 않는 한 크게 유용하지 않습니다. 또한이 책은 범위, 선형 의존성 및 독립성, 행렬에 반대의 관계가있을 때의 관계 및 이들 간의 관계에 대해 많이 이야기했지만 CS 에서이 응용 프로그램을 생각할 수는 없습니다. CS에서 선형 대수학의 어떤 부분이 사용됩니까?

언급 한 부분은 선형 대수의 기본 개념입니다. 기본 개념을 이해하기 전에 고급 개념 (예 : 고유 값 및 고유 벡터)을 이해할 수 없습니다. 수학에는 지름길이 없습니다. 범위와 선형 독립의 개념을 직관적으로 이해하지 않으면 선형 대수학을 배우지 못합니다.

일부 알고리즘은 풀 랭크 행렬에서만 작동합니다. 그 의미를 알고 있습니까? 행렬을 전체 순위가 아닌 것으로 만들 수있는 것을 알고 있습니까? 이것을 처리하는 방법? 선형 독립이 무엇인지 모른다면 단서가 없습니다.

선형 방정식을 푸는 데 사용되는 가우시안 제거 알고리즘은 실제로 잘못 구현하면 수치 적으로 불안정 할 수 있으며 경우에 따라 걱정해야 할 수도 있습니다. 알고리즘을 이해하지 않으면 문제가 어디에서 발생하는지, 그리고 선형 방정식을 풀기위한 알고리즘 수준이 아니라 해결하기 위해 올바른 선형 방정식을 도출하는 수준에서 수행 할 수있는 작업이 있는지 알 수 없습니다.

요컨대, 게으르지 말고 이러한 것들이 유용하다는 믿음을 가져라.

선형 대수학은 때때로 그래프 알고리즘에서 매우 유용하고 강력합니다. 함께 매트릭스 트리 정리 하면 효율적으로 그래프가 (당신이 고유 값을 이해할 필요) 한 스패닝 트리의 수를 셀 수 있습니다. 보다 복잡한 선형 대수를 파악해야하는 더욱 까다로운 응용 프로그램 은 다항식 시간으로 평면 그래프의 완벽한 일치 수를 계산하는 FKT 알고리즘 입니다.

대수 그래프 이론 과 스펙트럼 그래프 이론 에서 선형 대수의 사용에 대한 더 흥미로운 사례가 많이 있습니다 . 발생하는 알고리즘은 내가 제시 한 두 가지 예와 같은 문제를 계산하기위한 것이 아닙니다. 예를 들어 연결을 확인 하거나 그래프의 직경을 계산할 수도 있습니다 .

선형 대수학의 가장 잘 알려진 용도 중 하나는 Google의 Pagerank 알고리즘입니다 .

PageRank 값은 수정 된 인접 행렬의 지배적 인 왼쪽 고유 벡터의 항목입니다.

컴퓨터 그래픽, 애니메이션, 컴퓨터 비전, 이미지 처리, 과학 컴퓨팅 또는 물리적 현상 시뮬레이션과 관련된 거의 모든 것은 공간 변환 및 방향 표현과 같은 간단한 것에서부터 매우 복잡한 알고리즘에 이르기까지 벡터와 행렬 (선형 대수)을 광범위하게 사용합니다. 이러한 것들이 슈퍼 컴퓨팅의 영역 이었지만 지금은 매우 동일한 분야가 비디오 게임에서 컴퓨터 사진, 자율 주행 자동차에 이르기까지 데스크탑, 전화 및 기타 모든 곳에서 가장 멋진 앱의 핵심입니다. 선형 대수학은 어디에나 있습니다.

거기에는 많은 행렬 대수 기반 알고리즘과 기술이 있습니다. 그리고 그것은 훌륭합니다. 주성분 분석은 상당히 유용한 응용 선형 대수의 예입니다. 푸리에 분석에 대해서도 마찬가지입니다. 푸리에 분석은 직교성 및 내부 제품에도 뿌리를두고 있습니다. 직접 응용 프로그램이 있습니다.

그러나 더 중요한 것은 선형 대수 수업을 듣는 것이 특정 방식으로 생각하도록 가르치기 때문에 가치가 있습니다. 가장 좋은 선형 대수 수업은 일반화, 논리 및 증거에 중점을 둡니다. 일반적이거나 특정한 특정 일반적인 사례가 사실입니까? 어떻게 확신 할 수 있습니까? 가정을 증명하는 방법에 대해 생각할 수 있다면 가정을 잘못 가정하고 코드를 작성하지 않는 코드를 작성하는 것을 방지 할 수 있기 때문에 좋습니다. 또한 일반화하기 어려울 수있는 것들을 일반화하는 방법을 생각하고 더 큰 문제를 해결하도록 도와줍니다.

요약하면, 선형 대수학은 컴퓨터 과학에 유용한 뇌의 일부를 들어 올리는 무게이기 때문에 좋다는 것을 명심하는 것이 좋습니다.

선형 방정식 시스템 (가우시안 제거 방법으로 수행 가능), 선형 프로그래밍 (단순 법으로 해결할 수 있음), 최소 제곱 및 압축 감지 (위키 백과 기사 참조) 시스템은 많은 문제에서 발생하는 실질적인 문제입니다. 응용 분야. 선형 대수는 이러한 문제에 대한 정확하고 효율적인 알고리즘을 개발하는 데 도움이됩니다.

[Cormen, Leiserson, Rivest and Stein, "Introduction to Algorithms, Third Edition"] 텍스트를 참조하십시오. 여기서 28 장은 행렬 연산에 관한 것이고 29 장은 선형 프로그래밍에 관한 것입니다.