완전하지 않은 계산 모델에 대해 "계산 가능"에 대한 명확한 정의가 있습니까?

이것은 또 다른 질문의 후속이다 여기 , 내가 너무 철학적되지 않습니다 바랍니다. Raphael이 이전 질문에 대한 의견에서 지적했듯이 실제로 "계산 가능"에 대한 정의를 얻지는 못하지만 일부 논문에 따르면 튜링보다 약한 계산 모델에 대해서는 정의가 명확하지 않습니다. 입력 및 출력의 인코딩으로 인해 기계.

튜링 계산 의 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

정의 1 : 기능 $f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$라고 계산 가능한 튜링 IFF하는 튜링 기계가$M$ 계산하는 $f$자연수 의 적절한 인코딩 을 문자열로 사용합니다.

정의는 적절한 인코딩 이 무엇인지에 따라 다르지만 대부분 이진 인코딩 , 단항 인코딩 또는 십진 인코딩 을 하나의 고정되고 적합한 인코딩이라고합니다. 튜링 계산 성의 정의를 위해 하나의 인코딩을 수정해야한다는 것을 보여줄 수도 있습니다. 그러나 자연수의 이진 인코딩이 특별한 이유는 무엇입니까? 아마도 계산의 의미가 우연히 일치 한다는 직관적 인 개념에 맞기 때문일 것 입니다.

이제 튜링 머신보다 약한 계산 모델을 보면 어떨까요? 예를 들어, 세트를 고려해 봅시다$M_c$ 알파벳이있는 "파쇄 된"튜링 기계 $\{0,1\}$오른쪽으로 만 이동할 수 있으며 튜링 계산 의 정의 와 일치하는 주름진 튜링 계산 의 정의는 다음 과 같습니다.

정의 2 : 기능 $f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$라고 계산 가능한 튜링 불구 또는 에서 계산 가능$M_c$ 주름진 튜링 기계가 있다면 $M$ 계산하는 $f$ 자연수의 적절한 인코딩을 문자열로 사용합니다.

"적절한 인코딩"을 "이진 인코딩"으로 정의하면 함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto n+1$입니다 하지 에서 계산할 수$M_c$. "적절한 인코딩"을 "단일 인코딩"으로 축약 화하면$f$ 이다 계산할 수있는가$M_c$. 모든 사람들이 마음대로 수많은 직관적 인 인코딩 중 하나를 고칠 수 있다는 사실을 감안하면 어색해 보입니다. 계산 모델이 계산할 수 있는지 분명해야합니다.$f$ 특정 인코딩을 언급하지 않고서는 안됩니다. 적어도 "루프 프로그램이 튜링 머신보다 약합니다"라고 말할 때 어떤 인코딩이 사용되는지 언급 한 적이 없습니다.

이 소개 후에 마침내 내 질문에 대해 말할 수 있습니다. 계산의 직관적 인 개념과 일치하지 않는 임의 의 계산 모델에 대해 "적절한 인코딩"과 "계산 성"을 어떻게 정의 할 수 있습니까? 튜링 계산의 틀 안에서 이것이 가능합니까?

편집 : 소개를 단축했지만 질문에 추가하지 않았습니다.

여기서 누락 된 몇 가지 기본 사실은 언급 한 모든 인코딩이 계산 가능성의 관점에서 동일하다는 것입니다. 숫자의 이진 인코딩을 단항 인코딩으로 매핑하거나 그 반대로 매핑하는 계산 가능한 함수가 있습니다. 따라서 계산 가능성을 정의하기 위해 숫자로 어떤 인코딩을 선택하든 상관 없습니다. 좋아하는 인코딩을 수정하십시오.

계산 기능은 핵심적으로 문자열 함수의 속성입니다 $f\colon \Sigma^* \to \Sigma^*$. 다른 도메인에서 계산 가능성을 정의 할 때는 인코딩을 수정해야합니다. 실제로 모든 "합리적인"인코딩은 이전 단락의 의미에서 동일하므로 정확한 인코딩은 중요하지 않습니다.

그러나 인코딩은 제한된 계산 모델에서 중요합니다. 극단적 인 예를 들어, 시간이 제한된 튜링 머신을 고려한다고 가정 해 봅시다.$O(n^c)$ 일부 $c$, 어디 $n$입력의 길이입니다 (문자열). 이진 인코딩이 훨씬 간결하기 때문에 더 이상 이진 인코딩과 단항 인코딩간에 전환 할 수 없습니다. integer 의 다항식 시간 계산 가능 함수에 대해 이야기 할 때 정수가 2 진으로 인코딩되도록 지정합니다. 십진 인코딩은 다항식 시간 계산의 동일한 개념으로 이어지기 때문에 이것은 다소 임의의 선택입니다.

따라서 귀하의 질문에 대답하기 위해 – 인코딩은 제한된 모델의 정의의 일부로 지정됩니다.

우선, "적절한 인코딩"을 이진 문자열 또는 다른 인코딩으로 수정할 수 없습니다. 계산 모델마다 입력 및 출력 모델이 매우 다를 수 있기 때문에 너무 많은 계산 모델을 잃어 버리기 때문입니다. 즉, 문자열을 "말하지"않을 수 있습니다.

예를 들어, 타입이 지정되지 않은 람다 미적분의 항은 변수이거나 한 항을 다른 항에 적용하거나 람다 항의 추상화입니다. 입력과 출력은 임의의 문자열이라는 용어입니다. 그럼에도 불구하고, 타입이 지정되지 않은 람다 미적분은 자연수를 특정 형태의 람다 항으로 인코딩하는 "적절한 인코딩"이 존재하기 때문에 튜링-완료이며, 각각의 계산 가능한 함수에 대한이 인코딩 아래에 그것을 계산하는 람다 항이 존재한다.

Turing 머신을 계산의 참조 모델로 수정 한 경우, 항상 중단되는 Turing 머신이 바이너리 문자열과의 인코딩 및 디코딩을 수행하도록 요구하는 경우 "적절한 인코딩"을 공식화 할 수 있습니다. 예를 들어, 튜링 머신은 자연수를 이진 문자열로이 숫자를 표현하는 람다 항으로 변환하고 람다 미적분의 감소를 시뮬레이션 한 다음 결과를 이진 문자열로 다시 변환 할 수 있습니다.

더 간단한 계산 모델의 경우 동일한 접근법을 기대합니다. 계산의 참조 모델을 취하고 자연수의 인코딩을 수정 한 다음 인코딩과 디코딩이 해당 간단한 모델의 인스턴스에 의해 수행되는지 확인하십시오. 언급했듯이, 주름진 튜링 머신의 경우, 1 진 및 2 진 인코딩 번호를 사용하면 동등한 계산 모델이 생성되지 않습니다.