이미 증인이 있다는 것을 알고 있다고해도 증인을 찾는 것이 NP-hard 일 수 있습니까?

NP-hard 문제 (크릭, 3-SAT, 정점 커버 등)의 일반적인 예는 사전에 답이 "예"인지 "아니오"인지 알 수없는 유형입니다.

답이 '예'라는 문제가 있다고 가정하고, 또한 다항식 시간에 증인을 확인할 수 있습니다.

그러면 항상 다항식 시간에 증인을 찾을 수 있습니까? 아니면이 "검색 문제"가 NP-hard 일 수 있습니까?

TFNP는 다항식으로 검증되고 존재 함을 보장하는 값을 갖는 다중 값 함수 클래스입니다.

TFNP에는 NP = co-NP 인 경우에만 FNP가 완료되는 문제가 있습니다. 다음의 정리 2.1을 참조하십시오.

Nimrod Megiddo 및 Christos H. Papadimitriou. 1991. 전체 함수에서 존재 이론과 계산 복잡성. 이론. 계산. 공상 과학 81, 2 (1991 년 4 월), 317-324. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

및 참고 문헌 [6] 및 [11]. PDF는 여기에 있습니다 .

아니요, 솔루션이 있다는 것을 알고 있더라도 항상 다항식 시간에 솔루션을 찾을 수는 없습니다.

Khanna, Linial 및 Safra [1] (3 번째 단락 참조)에 따르면 Karp의 고전적인 1972 년 작업에서 이미 3 가지 색상으로 3 색 그래프를 색칠하는 것은 NP-hard라고합니다. (그들의 작업은 4 색 3 색 그래프가 여전히 NP-hard임을 보여주기 위해 이것을 확장합니다).

이것은 Rahul Savani의 답변과 모순되지 않습니다 . FNP의 모든 이진 관계 에 대해 P ( x , y ) 가 관계에 있으면 다항식 시간으로 확인할 수 있어야하기 때문 입니다. 3 색의 3 색 그래프가 NP- 완전인지를 결정하면 3 색의 그래프에서 4 색을 찾는 문제는 다항식 시간에 입력 x 의 유효성을 확인할 수 없기 때문에 FNP에 문제가되지 않습니다. . 따라서 Megiddo-Papadimitriou 결과와 모순되지 않습니다.$P$$P(x,y)$$x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial 및 Shmuel Safra. "색도 수에 근접한 경도에." 이론 및 컴퓨팅 시스템, 1993., 제 2 차 이스라엘 심포지움의 절차. IEEE, 1993.

예-응답
-비결정론 적 다항식 시간 튜링 감소 와 관련하여 NP- 관계가 NP-hard 라면,$\: NP = coNP \;$.




증명 :



예-응답
-비 결정적 다항식 시간 튜링 감소 와 관련하여 NP- 관계가 NP-hard 인 경우 :

보자 하드의 관계, 그리고하자 M이 ' 에서 예 응답 전용 공동 결정적 다항식 시간 튜링 감소 될 S T 에 R .$R$$M'$$SAT$$R$$\:$ 다음에 의해 제공된 coNP 알고리즘 이라고합시다 . $M$
$\;$주장 된 안티 인증서 를 내부 인증서와 응답으로 구문 분석하십시오 .
$\;$실패하면 YES를 출력하고 그렇지 않으면 내부 안티 인증서에서 를 실행하여 시도 하십시오. $M'$
$\;$ 반복 쿼리에 대해 이전에 제공된 것과 동일한 응답
$\;$ 다른 모든 오라클 쿼리에 대한 (외부) 인증. $\:$경우 더 뚜렷한 만들 것 $M'$
$\;$응답 또는 쿼리의 수보다 쿼리에 의해 관련되지 않을 것이다 에 $R$
$\;$해당 쿼리의 응답 또는 는 YES를 출력하고 M은 YES를 출력하고 그렇지 않으면 M은 NO를 출력합니다. 에 대한 오라클되고 있기 때문에 R 바로 오라클의 답변에 독립적 인 조건을 부과 하고 M을 ' 예'응답 전용 감소에 의해 생성 된 질의 - 응답 쌍이다 M ' 유효한 안티 인증서는 항상을위한 오라클로 확장 될 수있다 R 따라서 M은 S A T를 해결합니다.$M'$$M$$M$
$R$
$M'$$M'$
$R$$M$$SAT\hspace{-0.02 in}$.
그러므로$\: SAT\in coNP \;$.
이후 인 N P는 결정적 다항식 시간 감소에 대하여 -hard$SAT$$NP$$\: NP\subseteq coNP \;$.
대칭으로$\: coNP \subseteq NP \;$. $\;\;\;\;$ 그러므로 $\: NP = coNP \;$.


따라서, 예-응답
-비결정론 적 다항식 시간 튜링 감소에 대해 NP- 관계가 NP-hard 라면,$\: NP = coNP \;$.

이것은 귀하의 질문에 대한 정확한 해석에 약간 의존하지만, 귀하의 시나리오는 일반적으로 대해 보편적으로 고정 된 다항식 시간 알고리즘 가 주어지면 문제 'COMPUTE Y'로 묘사 될 수 있다고 생각합니다$T$$p$$\langle x, 1^n \rangle$$y \in \{0,1\}^{p(n)}$$T(x,y,1^n)$$y$$x$

'COMPUTE Y'에 대한 다항식 시간 알고리즘이 의미하는지 여부$P = NP$

$A$$A(\phi) = 1$$\phi$$A(\phi)=0$$\bar{A}$$\bar{A}(\phi) = 0$$\phi$$\bar{A}(\phi) = 1$$\phi$ 만족스럽지 않습니다.

$\bar{A}$$y$$T$$NP = coNP$

$NP = coNP$$NP$$k$$NP$