SAT 인스턴스의 난이도 측정

SAT 인스턴스가 주어지면 인스턴스를 해결하기가 얼마나 어려울 지 예상하고 싶습니다.

한 가지 방법은 기존 솔버를 실행하는 것이지만, 이러한 종류의 문제는 난이도 추정의 목적을 무효화합니다. 두 번째 방법은 랜덤 SAT에서 위상 전이에 대해 수행되는 것처럼 절 대 변수의 비율을 찾는 것일 수 있지만 더 나은 방법이 존재한다고 확신합니다.

SAT 사례를 보면 어려움을 측정 할 수있는 빠른 휴리스틱이 있습니까? 유일한 조건은 이러한 휴리스틱이 인스턴스에서 기존 SAT 솔버를 실제로 실행하는 것보다 빠르다는 것입니다.

관련 질문

어떤 SAT 문제가 쉬운가요? cstheory.SE에. 이 질문은 다루기 쉬운 인스턴스 집합에 대해 묻습니다. 이것은 비슷한 질문이지만 정확히 같은 것은 아닙니다. 나는 하나의 인스턴스가 주어지면 인스턴스가 해결하기 어려운 것 일지에 대한 반 지능적 추측을하는 휴리스틱에 정말로 관심이 있습니다.

일반적으로 이것은 매우 관련성이 있고 흥미로운 연구 문제입니다. "한 가지 방법은 기존 솔버를 실행하는 것입니다 ..."그리고 이것이 정확히 무엇을 말해 줄까요? 우리는 실증적으로 특정 솔버 나 특정 알고리즘 / 휴리스틱에 대해 인스턴스가 어려워 보이지만 실제로 인스턴스의 경도에 대해 무엇을 알려 줍니까?

추구 한 한 가지 방법은 효율적인 알고리즘으로 이어지는 인스턴스의 다양한 구조적 속성을 식별하는 것입니다. 이들 특성은 실제로 "쉽게"식별 가능한 것이 바람직하다. 다양한 그래프 너비 매개 변수를 사용하여 측정 한 기본 구속 조건 그래프의 토폴로지를 예로들 수 있습니다. 예를 들어, 기본 구속 조건 그래프의 트리 폭이 상수에 의해 제한되는 경우 인스턴스는 다항식 시간으로 해결할 수있는 것으로 알려져 있습니다.

또 다른 접근법은 숨겨진 인스턴스 구조 의 역할에 중점을 두었습니다 . 한 가지 예는 백도어 세트입니다 . 즉, 변수가 인스턴스화 될 때 나머지 문제가 다루기 쉬운 클래스로 단순화되도록 변수 세트 를 의미합니다. 예를 들어 Williams et al., 2003 [1]은 백도어 변수 검색 비용을 고려하더라도 백도어 세트에 집중함으로써 세트가 충분히 작 으면 전체적인 계산상의 이점을 얻을 수 있음을 보여줍니다. 또한, Dilkina et al., 2007 [2]는 Satz-Rand 라고 불리는 솔버 가 다양한 실험 영역에서 작은 강한 백도어를 찾는 데 매우 뛰어나다는 점에 주목했다.

보다 최근에는 Ansotegui et al., 2008 [3]은 DPLL 기반 솔버에 대한 척도로서 트리 형 공간 복잡도의 사용을 제안한다. 그들은 또한 일정한 범위의 공간이 공간이 다항식의 정도 인 다항식 시간 결정 알고리즘의 존재를 의미 함을 증명합니다 (본 논문의 정리 6). 또한 공간이 싸이클 컷셋 크기 보다 작음 을 보여줍니다 . 실제로 특정 가정 하에서 공간은 백도어 크기보다 작습니다.

그들은 또한 당신이 생각하는 것을 공식화합니다.

측정 값 찾으면 수식 주어진 알고리즘이 시간 만족도를 결정합니다 . 측정 값이 작을수록 공식 의 경도가 더 우수합니다 .Γ O ( n ψ ( Γ )$\psi$$\Gamma$$O(n^{\psi ( \Gamma )})$

[1] Williams, Ryan, Carla P. Gomes 및 Bart Selman. "전형적인 사례 복잡성에 대한 백도어" 인공 지능에 관한 국제 공동 회의. Vol. 2003 년 18 월 18 일.

[2] Dilkina, Bistra, Carla Gomes 및 Ashish Sabharwal. "백도어 탐지의 복잡성의 단점." 구속 조건 프로그래밍의 원리와 실습 (CP 2007), pp. 256-270, 2007.

[3] Ansótegui, Carlos, Maria Luisa Bonet, Jordi Levy 및 Felip Manya. "SAT 인스턴스의 경도 측정." 제 23 회 인공 지능 학회 (AAAI'08), pp. 222-228, pp.

위상 전이에 대해 알고 있기 때문에 내가 알고있는 다른 몇 가지 간단한 검사 (제약도 그래프 분석에 포함되어 있음)를 언급하겠습니다.

• 초기의 무작위 랜덤 SAT 생성기는 "일정한 밀도"를 사용했기 때문에 실수로 대부분 쉬운 수식을 만들었습니다. 이는 거의 모든 절 길이의 비율을 의미합니다. 2 절과 단위는 예상대로 문제를 크게 단순화하고 실제로는 긴 절이 많은 분기를 추가하지 않거나 초 고해상도를 더 잘 촉진하기 때문에 이들은 주로 쉬웠습니다. 따라서 고정 길이 절을 고수하고 다른 매개 변수를 변경하는 것이 좋습니다.
• $|x|*|\lnot x|$$x$
• $v_1, v_2, v_3$$\{v_1, v_2, ...\}, \{v_2, v_3, ...\}, \{v_1, v_3, ...\}$

[1] https://arxiv.org/pdf/1903.03592.pdf

Juho의 탁월한 답변 외에도 다음과 같은 다른 접근 방식이 있습니다.

Ercsey-Ravasz & Toroczkai, 만족을 제한하기위한 아날로그 방식의 일시적 혼란으로 최적화 경도 , Nature Physics volume 7, 966–970 쪽 (2011).

이 접근법은 SAT 문제를 역동적 인 시스템으로 다시 작성하는 것이며, 시스템의 유인 자는 SAT 문제에 대한 해결책입니다. 문제가 더 어려워 짐에 따라 시스템의 인력 유역은 더욱 복잡해 지므로 SAT 인스턴스의 "난이도"는 시스템이 수렴하기 전에 과도 상태가 얼마나 혼란스러워 졌는지 검사하여 측정 할 수 있습니다.

실제로 이것은 서로 다른 초기 위치에서 여러 솔버를 시작하고 솔버가 어 트랙터에 도달하기 전에 혼돈 과도 상태에서 벗어나는 속도를 검사하는 것을 의미합니다.

"솔루션"이 주어진 SAT 문제에 대한 솔루션 인 동적 시스템을 생각해내는 것은 어렵지 않지만 솔루션이 모두 유인자가되고 반발자가 아님을 확인하는 것은 조금 더 어렵습니다. 그들의 해결책은 에너지 변수 (라그랑주 승수에 영향을 미침)를 도입하여 제약 조건이 얼마나 심각하게 위반되는지를 나타내고 시스템이 시스템의 에너지를 최소화하도록하는 것입니다.

흥미롭게도 동적 시스템을 사용하면 아날로그 컴퓨터에서 다항식 시간으로 SAT 문제를 해결할 수 있습니다. 그 자체로 놀라운 결과입니다. 캐치가 있습니다. 에너지 변수를 나타 내기 위해 기하 급수적으로 큰 전압이 필요할 수 있으므로 불행히도 물리적 하드웨어에서는이를 인식 할 수 없습니다.