가장 무거운 평면 하위 그래프

다음 문제를 고려하십시오.

주어진 : 가장자리에 음이 아닌 실제 무게를 가진 완전한 그래프.

작업 : 최대 무게의 평면 하위 그래프를 찾으십시오. (가능한 모든 평면 하위 그래프 중에서 "최대"입니다.)

참고 : 최대 가중치 하위 그래프는 삼각 분할입니다. 완전한 그래프가 개의 꼭짓점에 있으면 가장자리를 갖습니다.$n$$m=3n-6$

질문 :이 문제에 가장 적합한 알고리즘은 무엇입니까? 시간 복잡성이란 무엇입니까?

이것은 완전한 가중치 그래프에 대해서도 NP-hard입니다. 쉬운 알고리즘을 위해 최대 가중치 스패닝 트리를 계산할 수 있습니다. 모서리 가중치를 무시하고 Kruskal의 알고리즘을 실행하십시오. 이렇게하면 성능 비율이 1/3이됩니다 (스패닝 트리에는 가장자리가 있으며 최대 평면 하위 그래프에는 최대 가장자리 가 포함될 수 있음 ). 내가 아는 한, 성능 비율이 최소 25/72이고 최대 5/12 인 [1]의 알고리즘은 크게 개선되지 않았습니다 (그러나 새로운 논문에서 참조).$n-1$$3n-6$

간선 가중치가 삼각형 부등식을 따르는 전체 그래프의 경우 [1]의 알고리즘 성능 비율이 3/8 이상입니다. 알고리즘은 다소 복잡하며 일반적인 그래프 에서 시간에 실행될 수 있다고 생각 합니다. 저자가 제시하는 몇 가지 간단한 변형과 ​​다른 성능 비율 및 더 나은 런타임이 있습니다.$O(m^{3/2}n \log^6 n)$

[1] Calinescu, G., Fernandes, CG, Karloff, H. & Zelikovsky, A. (2003). 무거운 평면 하위 그래프를 찾기위한 새로운 근사 알고리즘. Algorithmica, 36 (2), 179-205.