Karp-Lipton 정리 증명

나는 "전산 복잡성 : 현대적 접근"(2009) 책에 언급 된 Karp-Lipton 정리의 증거를 이해하려고 노력하고있다.

특히,이 책은 다음을 설명합니다.

카르 프-리프 톤 정리

만약 NP 다음 PH .P ∖ p o l y$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

증명 : 정리 5.4, 저자는 보여 PH가 ,이 표시에 충분 그 하고 있다고 표시하면 충분 특히 포함 - 완전한 언어 SAT. Π p 2 ⊆ Σ p 2 Σ p 2 Π p 2 Π $= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

정리 5.4는

모든 에 대해 이면 PH = 입니다. 즉, 계층이 i 번째 수준으로 축소됩니다.Σ p i = Π p $i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

함축 하는 방법을 이해하지 못했습니다 . Σ p 2 = Π p $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

보다 일반적인 질문으로 : 모든이 보류 않는 , 즉 않습니다 의미 모두는 ?$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

그 리콜 IFF ˉ L ∈ Π의 P I . 이제 Σ p i ⊆ Π p i 라고 가정 하고 L ∈ Π p i를 보자 . 그런 다음 by L ∈ Σ p i 및 ˉ L ∈ Π p i 가정하여 L ∈ Σ p i을 암시합니다 . 즉, Π p i ⊆ Σ $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$ 이므로Σ p i =Π p i 입니다.$\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

왜 iff ˉ L ∈ Π p i 입니다. 구체적으로, 우리는 i = 3 을 취 합니다. 정의에 의해, L ∈ Σ 페이지 3 의 경우 약간의 P-시간 술어 T , X ∈ L ⇔ ∃ | y | < | x | O ( 1 ) ∀ | z | < | x | O ( 1 )$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$i = 3$$L \in \Sigma_3^p$$T$ 마찬가지로 ˉ L ∈ Π의 P 3 경우 일부 P 타임 술어를위한 S , X ∈ ˉ L ⇔ ∀ | y | < | x | O ( 1 ) ∃ | z | < | x |

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ $\bar{L} \in \Pi_3^p$$S$ 그러나 de Morgan의 법칙의 간단한 호출에서 보듯이 P가 보완 상태에서 닫혔다는 사실과 함께이 두 진술은 동등하다 (S=¬T). $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ $S = \lnot T$