갈루아 정리에 대한 복잡한 관점이 있습니까?

Galois의 정리는 계수와 근호의 합리적인 함수를 사용하여> = 5 정도의 다항식의 근을 표현할 수 없다고 효과적으로 말합니다.
이제, "실제 다항식 와 숫자 k가 적어도 k의 갭에있는 의 세 번째와 네 번째 루트는 ?" $p$ $p$

이 의사 결정 질문에 대한 증명 인증서는이 다항식의 근본이되며 짧은 인증서이므로 BUT이 Galois 정리가 아닌 것처럼 보입니다. 이 결정에 대한 인증서를 찾는 결정적인 알고리즘이 없다고 말하는 질문? (이 속성이 true이면이 질문에 대한 답변을 결정하기 위해 알고리즘을 제외합니다) $NP$

그렇다면이 결정 문제는 어떤 복잡성 클래스에 속합니까?

내가 본 모든 NP- 완료 질문에는 항상 문제를 해결할 수있는 사소한 지수 시간 알고리즘이 있습니다. 이것이 NP가 완료된 모든 질문에 항상 맞아야하는 재산인지는 모르겠습니다. 이 결정 질문에 대해서는 이것이 사실이 아닌 것 같습니다.

complexity-theory np-complete np polynomials

— 사용자
소스

루트는 인증서이지만 짧은 인증서 임을 알 수 없습니다. 즉, 모든 다항식에 대해 루트를 비트로 쓸 수 있는 상수 있습니다 . 여기서 다항식을 기록하는 데 필요한 비트 수입니다). 그러나 NP 알고리즘이있는 경우 사소한 지수 시간 알고리즘이 있습니다. 모든 잠재적 인 인증서를 열거하고 그중 하나가 작동하는지 확인하십시오.

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— David Richerby

몇 코멘트 (1)의 뿌리 최대 절대 값이 . (2) Sturm 시퀀스를 사용하여 다항식의 근을 분리 할 수 있습니다. (3) 우리는 정확히 거리에 두 개의 근이 있는지 여부를 확인할 수 있으며, 그렇다면 및 의 GCD를 계산합니다 .

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

p (x + k)

$p(x+k)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus 위의 아이디어 중 하나를 사용하여 위의 결정 질문을 결정할 수 있습니까? 이것이 다항식 시간 으로이 질문을 결정하는 데 사용될 수 있는지 확실하지 않습니까?

— user6818

"갈 로아의 정리는 계수와 근호의 합리적 함수를 사용하여> = 5의 다항식의 근을 표현할 수 없다고 효과적으로 말합니다. 다항식이 주어지면 근을 찾는 결정 론적 알고리즘이 없다고 말할 수 없습니까? " 다항식 시간 알고리즘은 합리적인 함수보다 강력하기 때문에 아닙니다. 예를 들어, 사례를 분할하고, 반복하고, 배열을 만들고, 반복 할 수 있습니다.

— sdcvvc

@ user6818 정리는 특정 계산 모델-라디칼의 합리적인 함수에 관한 것입니다. 모델을 변경하면 더 이상 적용되지 않습니다. 예를 들어 MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html 에 따르면 Jacobi theta 함수를 사용하여 5도 방정식을 풀 수 있습니다. 0.01 (또는 주어진 ) 이내의 근을 반환하는 알고리즘을 사용해도 괜찮다 면 Galois 정리는 더 이상이 메소드의 자격을 잃지 않습니다.

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

답변:

그러나 흥미로운 연결은 갈루아 이론에 따르면 문제가 초 다항식 시간이 필요할 수있는 해결책 (예 : 가장 긴 경로)이 있다고 말하는 대신 라디칼을 사용하여 quintic의 근을 찾는 (일관된) 방법이 없다고합니다. 그래서 나는 그것이 복잡성보다는 결정 불가능 성과 관련이 있다고 말할 것입니다.

구체적으로, 갈루아 이론에서, 단계적으로 (한 번에 하나의 루트를 추가) 단계적으로 방정식의 루트의 그룹 확장을 점진적으로 구축합니다. 그리고 이러한 모든 그룹은 해결할 수 있어야하며, 이러한 확장을 다른 순서로 구성하는 과정에서 모호성이 없어야합니다. MO에 대해 Galois 그룹 방정식 구성의 복잡성에 대한 관련 질문 이 있습니다 .

또 다른 참고 문헌은 "계산 학 대장 론 이론 : 이상의 개척자와 계산법 ", CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERS $\mathbb{Q}$

또한, 방정식 의 갈루아 그룹 (Galois group)의 구성에 기초하여 라디칼을 사용하는 다항식 공변의 근을 체계적으로 나타낼 수있다 (방정식을 사용하여 방정식 을 해결할 수있는 경우 ). 참조 : "다항식 뿌리의 근사 적 표현", 히로카즈 아나이 카즈히로 요코야마 2002

정수 위에 주어진 MONIC 기약 다항식의 여부를 결정하는 계산 복잡도 , 아이소 가용성 인은에 참고 1,984 S. 란다 GL 밀러 "아이소 해결의 가능성 다항식 시간 범위 내에" $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

최근 "갈루아 그룹의 계산 기술" 조사 , Alexander Hulpke

물론 좋은 근사 알고리즘과 그 복잡성 (예 : Newton의 방법 또는 Sturm의 정리)을 찾고 있다면 이것은 약간 다른 질문이며 이미 게시 된 답변 은 그 방향으로 더 많은 정보를 제공합니다.

— 니 코스 엠
소스

감사! 실수로 매우 흥미로운 질문을 한 것 같습니다!

— user6818

@ user6818, 감사합니다. 자세한 정보 및 추가 참조가있는 답변 업데이트

— Nikos M.

정수 계수가있는 다항식을 고려한다고 가정합니다 .

당신은 당신의 조사를 위해 잘못된 출발점을 얻었습니다. 당신의 목표는 실제 뿌리에 대한 좋은 추정치 를 찾는 것 입니다. 충분한 정밀도로 평가할 수있는 대수 공식을 찾는 것이 할 수있는 일이지만 실제로 여기서 옳은 것은 아닙니다. (물론 " k다항식의 가장 큰 실수"가 대수 연산 중 하나가 아닌 한)

훨씬 더 좋은 출발점은 Sturm의 정리 를 사용 하여 다항식의 근을 분리하는 것입니다. 그런 다음 이진 검색으로 더 나은 추정치를 생성 할 수 있지만 너무 느리면 Newton의 방법 을 사용 하여 고정밀 추정치를 빠르게 생성 할 수 있습니다 .

그러나 그것은 인증서 를 찾는 것 입니다. 어떤 인증서가 존재할 수 있는지 여전히 의문입니다.

먼저, 를 계산 하여 두 개의 근이 정확히 단위 떨어져 있는지 여부를 직접 계산할 수 있음을 지적합니다 . 또한 반복되는 뿌리에 대해 원하는 일을 결정하고 적절하게 처리해야합니다. 나는 당신이이 사건들을 특별히 다룰 것이라고 생각합니다. $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

우리가 두 근이 정확히 단위 떨어져 있지 않다는 것을 알고 있다면 , 그것들이 단위 보다 크거나 작다는 것을 증명하기에 충분한 정밀도의 추정치를 생성 할 수 있음을 의미합니다 . 예를 들어 두 종류의 인증서가 있습니다. $k$ $k$

첫 번째 종류 (음수로 증명)는

는 의 뿌리가 아니다 $a$ $p$
는 근이 없습니다 $p$ $(a-k, a)$
는 에 세 개의 근이 있습니다 $p$ $(a, \infty)$

두 번째 종류 (긍정적으로 증명)는

는 의 뿌리가 아니다 $a$ $p$
는 에 적어도 두 개의 근이 있습니다 $p$ $(a-k,a)$
는 에 두 개의 근이 있습니다 $p$ $(a, \infty)$

Sturm의 정리를 사용하여 인증서를 확인할 수 있습니다. 이제, 인증서의 크기에 대한 질문 정밀도의 비트 수는 표현해야 할 방법을 찾는 데 귀결 . $a$

즉, 의 가능한 값에 대한 경계는 무엇 입니까? 여기서 는 근 ? $a-b-k$ $a,b$ $f$

나는 훌륭한 접근 방식을 확신하지 못하지만 무언가를 제공 해야하는 것은이 모든 값이 다항식의 근본이라는 것을 관찰하는 것입니다.

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

왜? 두 음의 다항식의 결과는 근의 모든 차이의 곱이므로

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

여기서 는 리딩 계수이고 는 의 정도입니다 . (어쩌면 내가 대한 공식 서면으로 작성했습니다 대신 , 나는 부호에 결코 확실 해요) $c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

따라서 문제는 계수 가 얼마나 클 수 있는가에 대한 추정치를 찾은 다음, 일단 알고 있으면 의 근이 0 에 얼마나 가까운 지 추정하는 것입니다 . $g$ $g$

(또는 대안으로 의 역 다항식의 근이 가질 수있는 가장 큰 크기를 찾으십시오 . 역 다항식의 근은 의 근의 역수입니다 ) $g$ $g$

여기에 데이터 표현에 관한 문제가 있습니까? NP는 기본적으로 튜링 머신에 관한 것이며, 이것이 실제 숫자 또는 충분한 정밀도의 합리성을 기록하는 데 필요한 비트 수와 어떻게 관련되어 있는지는 분명하지 않습니다. (매우 건설적이지 못해서 죄송합니다. 문제가 될 수 있음을 알고 있지만 실제로 문제인지 또는 문제를 해결하는 방법을 알 수는 없습니다.)

— David Richerby

@DavidRicherby : I는 입력이 기본적으로 바이너리로 작성 다항식의 단지 계수이다 있으리라 믿고있어, 내 기대는 비트 수는 표현 필요가있다 바이너리가의 비트 수의 다항식 기능에 의해 제한됩니다 입력. 입력 비트 수와 다항식의 두 매개 변수를 사용하면

필요한 비트 수가 입력 비트 수에서 다항식이 될 것입니다. 정도에 따라 정확히 어떻게 달라지는 지 확인하십시오.

a

$a$

a

$a$

계수 목록으로서의 입력은 완벽합니다. 그러나 근을 나타내는 데 필요한 정밀도에 대한 가정은 반드시 확인해야합니다. 예를 들어, 힐버트의 10 번째 문제 (디오 판틴 방정식 해결)가 결정 불가능한 이유는 입력 길이와 관련하여 솔루션의 길이를 제한 할 수 없기 때문입니다. 변수가 하나만 있고 정수 솔루션을 찾지 않기 때문에 여기서 직접 적용 할 수는 없지만 경계의 가정에 대해 꽤 큰 질문을합니다.

— David Richerby

@David : 실제 닫힌 필드의 이론은 숫자 이론과 크게 다릅니다. 하나에 대한 직관은 실제로 다른 것으로 잘 번역되지 않습니다.

만약에 두 뿌리는

떨어져 나

떨어져? 충분한 정밀도를 추정하는 것은 어려울 수 있습니다.

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$

— Yuval Filmus

대부분 개방형으로 질문을 할 것입니다. 현재 Abel-Ruffini thm 으로 알려진 galois 증거 는 quintic에 대한 다항식의 불가능 성을 보여줍니다. (예를 들어 2 차 방정식과 대조). 그래서 그것은 실제로 문제 자체 의 경도 에 대한 결과가 아니라 불가능한 결과 입니다. 이러한 의미에서, 예를 들어 정지 문제의 결정 불가능 성의 증거와 더 유사하다. 복잡성 이론은 일반적으로 컴퓨팅 솔루션의 "비용"과 관련이 있습니다. 이것이 본 논문 ( Computability and Complexity / Kleinberg & Papadimitriou)의 초급 섹션에있는 두 명의 CS 연구자들의 관점이며 , sec 1 Quintic Formula에 대한 탐구 :

몇 세기의 안전한 거리에서 볼 때,이 이야기는 컴퓨터에 관한 이야기 중 하나이며, 나중에 계산을 모델링하려는 노력에서 발생하는 많은 주요 요소가 포함되어 있습니다. 이 경우 정확한 모델을 공식화하고 모델에서 프로세스의 계산 능력에 대한 예상치 못한 결과를 도출합니다. 우리가 일반적으로 계산에 적용하고자하는 것은 바로이 접근법입니다.

다른 곳에서는 느슨한 / 일반적인 비유는 P NP 증거 (또는 다른 복잡성 클래스 분리)가 Abel-Ruffini 연산과 다소 유사한 계산 불가능한 결과와 유사하다는 것입니다. 분리 결과에 따르면 특정 유형의 문제는 다른 특정 유형의 "계산 자원"으로 해결할 수 없다고합니다. P NP 정리는 (일시적인) 계산 불가능한 결과로 간주됩니다. $\neq$ $\neq$

— vzn
소스

중단 문제가 좋은 비유인지 확실하지 않습니다. 왜냐하면 "아무 답이 없습니다"가 아니라 "답을 계산할 수 없습니다"라는 선을 따라 있기 때문입니다.

Galois 정리가 Halting 문제처럼 계산 불가능한 결과가 아닙니까?

— user6818 April