괴델의 불완전 성 정리, 정지 문제 및 보편적 인 튜링 기계 사이에 구체적인 관계가 있습니까?

75

나는 항상 위의 질문에 대한 대답이 다음 줄을 따라 긍정적이라는 것을 모호하게 생각했습니다. 고델의 불완전 성 정리와 정지 문제의 결정 불가능 성은 결정 가능성에 대한 부정적인 결과이며 대각선 논증 (1930 년대)에 의해 확립 된 것이므로 동일한 문제를 보는 두 가지 방법이어야합니다. 그리고 Turing은 보편적 인 Turing 장비를 사용하여 정지 문제를 해결할 수 없다고 생각했습니다. ( 이 math.SE 질문 도 참조하십시오 .)

그러나 이제는 (계산으로 과정을 가르치는) 나는이 문제를 자세히 살펴보고, 내가 찾은 것에 다소 당황합니다. 그래서 저는 생각을 바로 잡는 데 도움이 필요합니다. 한편으로 고델의 대각선 주장은 매우 미묘하다는 것을 알고있다. 그것은 자기 자신의 파생성에 대해 무언가를 말하는 것으로 해석 될 수있는 산술 진술을 구성하기 위해서는 많은 노력이 필요하다. 다른 한편으로 여기서 내가 찾은 정지 문제의 결정 불가능한 증거 는 매우 간단하며 보편적 인 튜링 머신의 존재는 물론 튜링 머신도 명시 적으로 언급하지 않습니다.

유니버설 튜링 기계에 대한 실질적인 질문은 유니버설 튜링 기계의 알파벳이 시뮬레이션하는 튜링 기계의 알파벳과 같은 것이 중요한지 여부입니다. 나는 적절한 대각선 논쟁 (기계가 스스로를 시뮬레이션하게 함)을 만들기 위해 필요하다고 생각했지만, 내가 그물에서 찾은 보편적 인 기계에 대한 당황스러운 설명 모음 에서이 질문에주의를 기울이지 않았습니다. 정지 문제가 아닌 경우, 일반적인 튜링 기계는 대각선 논쟁에 유용합니까?

마지막 으로이 추가 섹션에 혼동됩니다같은 WP 논문의 "고델 (Gödel)의 불완전 성의 약한 형태는 정지 문제에서 비롯된다 :"자연수에 관한 모든 진술의 완전하고 일관되고 건전한 공리 화는 달성 할 수 없다 "는 것은"소리 "가 약화되어야한다. 나는 모순을 도출 할 수 없다면 이론은 일관성이 있으며 자연수에 관한 완전한 이론은 자연수에 관한 모든 진실한 진술이 그로부터 도출 될 수 있음을 의미하는 것으로 보인다. 나는 고델이 그러한 이론은 존재하지 않는다고 말하지만, 그러한 가상의 짐승이 어떻게 소리를 내지 못할 수 있는지, 즉 자연수에 대해 거짓 인 진술을 도출하는 방법을 알지 못한다. 따라서 완전성에 의해 도출 될 수 있으며, 이는 일관성과 모순된다.

이 중 하나에 대한 설명을 부탁드립니다.

— 마크 반 리우 웬
소스

하나의 개념적 문제가 있습니다 : 알고리즘 결정 성 (Halting problem) 및 파 생성 resp. 확률 (논리)은 두 가지 매우 다른 개념입니다. 둘 다 "결정 성"을 사용하는 것 같습니다.

— Raphael

1

@Raphael : 불완전 성 정리와 정지 문제의 결정 불가능 성 사이에는 개념적 차이가 크다는 것을 잘 알고 있습니다. 그러나 부정적 불완전 성의 형식 : 충분히 강력한 형식 시스템은 일관되고 완전 할 수 없으며 결정 불가능한 진술로 해석됩니다. 형식 시스템에서 추론 할 수있는 이론 세트는 구성에 의해 반 결정 가능하므로 완전성은 -이론은 반 결정 가능 (정리를 가정하거나 일관성을 가정하거나 빈 세트로 가정) 할 수 있으므로 결정 가능하다.

— Marc van Leeuwen

실제로 두 증명은 개념적으로 매우 유사하며 실제로 그것을 보는 한 가지 방법은 Godel이 일종의 turing-complete 논리를 산술로 구성했다는 것입니다. 이 개념적 동등성을 지적하는 많은 책들이 있습니다. 예 : hofstadter의 Godel Escher Bach 또는 penrose의 황제 New Mind ....

— vzn

다소 관련이 있습니다 ... 나는 거북이가 Achilles의 레코드 플레이어를 계속 깨는 문제를 중단 문제에 적용하는 Hofstadter의 parabel을 항상 잘못 기억합니다. 사실, 나는 혼란을 (재) 검색하여이 실을 발견했다. 나는 아직도 파 라벨이 더 자연스럽고 직접 멈춤 문제로 해석된다고 생각하지만, 이것은 어느 한 정리에 대한 깊은 이해가 없다.

— micans

32

Turing machines과 Rosser 's Theor를 통해 불완전 성 정리 증명에 관한 Scott Aaronson의 블로그 게시물 을 확인하는 것이 좋습니다 . 불완전 성 정리에 대한 그의 증거는 매우 간단하고 따르기 쉽다.

— 마르코스 빌라 그라
소스

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

1

계산 에 관한 장의 책 The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… )에도 비슷한 맥락에서 다른 증거가 있습니다 . 그곳에서 저자들은 Rosser 정리를 사용하지 않고 보편적 인 기계 (예 : Church-Turing Thesis)의 존재 만 가정합니다. 정확한 참조는 7.2.5 페이지 238 섹션입니다.

— Marcos Villagra

21

중단 문제에 대한 닐 크리슈나 스와미의 대답 , 계산 불가능한 세트 : 일반적인 수학적 증거? CSTheory 에서 카테고리 이론의 우산 아래에서 위의 결과를 연결하는 참조를 가리 킵니다.

— 수레 쉬
소스

1

이 논문 은 cstheory 답변에 언급되어 있지 않지만 Andrej Bauer의 블로그 게시물 에 대한 답변에는 언급되어 있지만 아마도 좋은 개요 일 것입니다.

— Artem Kaznatcheev

이것은 결과 사이의 의미가 아니라 증명의 유사성에 기반한 연결입니까?

— Raphael

1

글에서 Artem이 연결하는 관점은 이것들이 모두 단일 범주 이론적 사실의 징후라는 것입니다.

— Suresh

16

(이것은 Suresh의 답변에 대한 의견이어야하지만 너무 길어서 거기에 맞지 않습니다. 따라서 Marc의 질문에 실제로 대답하지 않는다는 것을 미리 사과드립니다.)

나는 Neel의 답변 Halting 문제, 계산할 수없는 세트를 발견했습니다 : 일반적인 수학적 증거? CSTheory 와 Andrej Bauer의 블로그 게시물 에는 두 가지 이유로 불만족 스럽습니다.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

둘째, 위와 같은 증거는 우리가 합리적인 결정 불가능한 언어의 예를보고 싶어하기 때문에 불만족 스럽다. 위의 증거는 계산의 여지가있는 것으로 볼 수 있으며, 그런 의미에서 실제로 "구성 적"이 아닙니다. 튜링은 그러한 예로 정지 문제를 발견했습니다.

— 다이
소스

+1 이것은 더 간단한 접근법이지만, 여전히 의심 스럽습니다. "우리는 결정 불가능한 언어가 존재해야한다는 것을 알고 있습니다." 결정 불가능한 언어와 결정 불가능한 문제의 차이점을 지정할 수 있습니까?

— Hernan_eche

1

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

그러나 대각선의 주장은 실제로 건설적인 증거입니다. 칸토르 정리로 축소 할 때, 결정 불가능한 언어는 인코딩이 허용되는 언어가 아닌 모든 기계의 집합입니다.

— Willard Zhan

6

$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

$K$ $¬KK$

— jmad
소스

불충분 한 f (n)의 경우

— Yonatan N

0

"정지 문제가 아닌 경우 범용 Turing 기계가 대각선으로 유용합니까?"

라이스 정리는 본질적으로 튜링 기계에 대한 대각선 화의 일반화입니다. 그것은 Turing 머신에 대한 속성이 전혀 없음을 보여주는데, 그 속성이 모든 Turing 머신에 대해 유지되거나 Turing 머신이없는 경우를 제외하고는 단일 알고리즘으로 모든 Turing 머신에 대해 결정할 수 있습니다. 모든 튜링 기계 또는 튜링 기계가없는 건물의 경우 자산이 대각선 화 대상이 튜링 기계가되는 것을 막기 때문에 처음에는 해당 특성에 대한 결정에 위배 될 수 없습니다. 실제로 이것은 유일한대각선 화 객체가 목록에 표시되지 않고 튜링 머신의 모든 속성 인 속성에 대한 결정과 모순되는 것을 방지합니다. 이 대각선 화 객체 패턴은 당신이 결정하려고하지만 결정을 무효화하려는 것들의 목록의 일원이되어야합니다. 로베르의 정리 (수레 쉬의 답변 링크에서 언급 됨)가 포착하는 비판적 추상화입니다 대각선 화 개념을 완전히 일반화하기 위해. 우리는 경험에 의해 거의 모든 대각선 화가 수학적 논리에서 매우 중요한 결과를 이끌어내는 공통된 속성을 갖는 것처럼 보이므로 Lawvere의 정리를 매우 흥미로운 도구로 만듭니다.

— stoopkid
소스