유 방향 그래프에서 두 노드 사이의 간단한 경로 수를 계산하는 것이 얼마나 어려운가요?

유 방향 그래프에서 두 노드 사이에 경로가 있는지 여부를 결정하는 쉬운 다항식 알고리즘이 있습니다 (심도 우선 검색으로 일상적인 그래프 탐색 만 수행).

그러나 놀랍게도 존재 여부를 테스트하는 대신 경로 수 를 계산 하려는 경우 문제가 훨씬 어려워집니다 .

우리는 재사용 정점에 경로를 허용하는 경우 다음에서 경로의 수를 찾을 수있는 동적 프로그래밍 솔루션이 들 에 t 와 n 개의 가장자리가. 그러나 정점을 재사용하지 않는 간단한 경로 만 허용하는 경우, 내가 생각할 수있는 유일한 해결책은 경로의 무차별 대입 열거입니다 .

그래서 묻습니다.

• 두 정점 사이의 간단한 경로 수를 계산하는 것이 어렵습니까?
• 그렇다면 NP- 완전한 것입니까? (기술적으로 의사 결정 문제가 아니기 때문에 일종의 말을합니다 ...)
• P에도 하드 카운팅 버전이있는 다른 문제가 있습니까? **

계산 문제와 관련된 가장 일반적인 복잡성 클래스는 #P 입니다. 주어진 노드에서 다른 노드로의 간단한 경로가 있는지 결정하는 것은 분명히 NP에 있습니다. 그것들을 세는 것은 #P입니다.

$n!$

첫 두 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 예, 어렵 습니다. # P- 완료 (ref) 입니다.

Wikipedia 기사 는 다음과 같은 사실을 제공합니다. 1) 확률 알고리즘은 # P- 완전 함수를 근사화하는 데 유용하며 이전 기사의 근사화에 사용되는 알고리즘입니다. 2) 하드 (# P- 완전) 카운팅 버전에는 다른 쉬운 문제가 있습니다.

• DNF 공식 또는 2-SAT 의 인스턴스를 만족시키는 모든 과제의 발견 (선형) 대 계산
• 발견 (선형) 대 토폴로지 정렬 계산
• 이분 그래프에서 (O (VE)) 대 완벽 매칭 계산

제약 조건 "간단한 경로"를 제거하면 문제가 P로 떨어집니다 (그래프 크기의 다항식으로 경로의 길이를 묶거나 단항으로 묶어야 함).