XOR 관계가있는 2-SAT는 NP- 완전합니까?

"XOR 관계가있는 2-SAT"에 대한 다항식 알고리즘이 있는지 궁금합니다. 2-SAT와 XOR-SAT는 모두 P에 있지만 조합되어 있습니까?

입력 예 :

• 2-SAT 부분 : (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• XOR 부분 : (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

다시 말해, 입력은 다음과 같은 부울 공식입니다.

출력 예 : 만족할만한 : a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

입력의 2-SAT 절 수와 XOR 절 수는 모두 . 여기서 은 부울 변수의 수입니다.$O(n)$$n$

2-SAT-with-XOR 관계는 3-SAT를 줄임으로써 NP- 완료로 입증 될 수 있습니다. 모든 3-SAT 절 은 동등한 2-SAT-with-XOR 관계식 ( x 1 ∨ ¯ y ) ∧ ( y ⊕ x 2 ⊕ z ) ∧ ( ¯ 새로운 변수로 y 와 z 를 갖는 z ∨ x 3 ) .

XOR 관계의 진위를 지정하지 않았지만 일반적인 SAT-to-3SAT 축소와 마찬가지로 항상 진위를 최대 3 개로 정렬 할 수 있습니다. 이제 Schaefer의 이분법 정리 를 적용 할 수 있습니다. 문제가 P 또는 NP 완료인지 여부를 알려줍니다 (이 두 가지 옵션 만 있습니다). 그것이 P로 판명되면, 다음 단계는 Allender et al. 문제가 얼마나 쉬운 지 알려줍니다.

으로 쉐퍼의 이분법 정리 ,이 NP-완료됩니다.

$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

이제 Schaefer의 이분법 정리를 현대적인 형태로 적용하십시오 . 6 가지 연산 각각이 다형성인지 확인하십시오.

• $x \lor y$
• $\neg x \lor \neg y$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• $x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

모든 XOR 절의 길이를 최대 3으로 제한하더라도이 문제는 NP가 완료된 것입니다.

$(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$