쉐퍼의 정리는 왜 P = NP임을 증명하지 않습니까?

이것은 아마도 어리석은 질문이지만 이해가되지 않습니다. 또 다른 질문으로 그들은 쉐퍼의 이분법 정리 를 생각해 냈습니다 . 나에게 그것은 모든 CSP 문제가 P 또는 NP- 완료이지만 사이에 있지 않다는 것을 증명하는 것처럼 보입니다. 모든 NP 문제는 다항식 시간에서 CSP로 변환 될 수 있기 때문에 (CSP가 NP- 완료되기 때문에) P와 NP-Complete 사이에 공백이없고 P = NP가되는 이유는 무엇입니까?

예를 들어, 내 생각은 다음과 같습니다. 정수 인수 분해는 만족도 문제로 다시 작성할 수 있으므로 Schaefer의 정리를 사용하면 P 또는 NP- 완료이지만 사이에 있지 않아야합니다 (어떤 것이 무엇인지 알 수 없더라도).

전체 질문을 보는 다른 방법 : 정수 인수 분해가 P 또는 NP- 완전인지 여부를 결정하기 위해 왜 Schaefer의 정리를 사용할 수 없습니까?

편집 : David Richerby의 답변에 대한 답변으로 (댓글이 너무 깁니다) :

흥미롭지 만 아직 완전히 이해하지 못했습니다. 쉐퍼 정리를 사용하는 동안 관계 감마 세트를 정의 할 때, 우리는 그것에 감마를 적용 할 수 있습니다. 예를 들어, 감마가 arity 2의 관계 만 사용하도록 제한 할 수 있습니다 (문제는 P에 있음). 감마에 어떤 종류의 제한을 가할 수 있습니까?

CSP (감마)의 모든 인스턴스가 L과 정확히 동일 (동형?)하는 그러한 제한을 적용 할 수없는 이유는 무엇입니까? 예를 들어, 고르지 않은 숫자에 대해 정수 인수 분해를 변환 할 때 두 제수 중 하나는 이진수 xn .. x3 x2 1로 표시됩니다. 이제이 숫자가 1보다 커지기를 원합니다. 따라서, (xn 또는 .. 또는 x3 또는 x2). 감마는 arity n-1의 관계를 가질 수 있습니다. 그러나 언어에 L 이외의 다른 인스턴스를 포함시키는 데 or orlation을 사용하고 싶지 않기 때문에 or-relation에 x2..xn이 부정을 허용하지 않는다는 것을 더 강요합니다. 물론 특정 변수 만 사용하도록 제한해야합니다.

이 방법으로 CSP (감마)를 정수 인수 분해에 동형으로 만드는 것이 가능하지 않습니까? 주요 질문은 우리가 감마에 어떤 종류의 제한을 가할 수 있는가입니다.

편집 2 : Yuval Filmus의 답변에 대한 답변.

귀하의 답변을 이해하며 David의 답변과 거의 동일하지만 정확합니다. 예를 들어, 인수 분해를 3- 토로 줄이고, 인수 분해가 NP 완료라고 결론 지을 수 있습니다. 이것은 3- 토가 인수 분해가 아닌 다른 인스턴스를 가지고 있기 때문에 잘못되었습니다.

내가 이해하지 못하는 부분은 인스턴스가 임의적이지 않은 경우입니다. 예를 들어, 2-SAT는 나에게 임의적이지 않은 것처럼 보입니다. arity 2의 절만 허용되기 때문입니다 (단, 증거가 상한이므로이 증거는 여전히 보유하고 있음을 인정해야하지만이 경우 상한은 P입니다).

아마도 더 좋은 예는 NP- 완전성입니다. 위의 질문입니다. 한 명의 답변자가 쉐퍼의 전체 증거를 제공합니다. 그러나 나는 입력에 대한 사소한 제한을 부과합니다 (2-SAT 절은 허용되고 xor 절이지만 다른 것은 없습니다). 물론 증명에서 고려 된 CSP 문제는 원래 문제와 정확히 동일하기 때문에 증명은 여전히 ​​유효합니다.

내가 이해하지 못하는 부분은 왜 우리가 인수 분해를 위해 비슷한 것을 할 수없는 것입니까? 물론 3-SAT로 줄이려면 아무 소용이 없지만 숫자를 분해하고 숫자 (4 비트) 만 분해하는 CSP 인스턴스를 제공 할 수 있습니다. 가능하다고 생각되면 END-OF-SKIP으로 건너 뜁니다.

인수 분해 인스턴스.

입력:

(N =) ( 숫자의 4 비트) (M =) (첫 번째 제수의 최소값의 4 비트) m 4 m 3 m 2 m $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

이제 이것을 CSP 인스턴스로 변환 해 봅시다

INPUT :
대한 단항 도메인 및 대한 (N과 M이 주어진 것을 나타냄)m 5 . . m $n_5..n_1$$m_5..m_1$

도메인이 {0,1} 인 변수 :
(D =) (첫 번째 제수) (E =) (두 번째 제수)e 4 e 3 e 2 e $d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

처지:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$ (E> 1을 나타냄)

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
(D> M을 나타냄)

( d 1 ∧ e 2 ) ⊕ ( d 2 ∧ e 1 ) = n 2 n 3 = . . . ; n 4 = . . $d_1 \land e_1 = n_1$ (최하위 비트 곱셈을 나타냄) (다음 비트 곱셈을 나타냄)
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

건너 뛰기 끝

요점은 쉐퍼 정리를 적용 할 때 그러한 CSP 만 고려해야한다는 것 입니다. (2-SAT와 마찬가지로 arity 2 인 CSP 만 고려합니다). 그렇게 할 때, 6 가지 다형성 중 하나가 유지되거나 그렇지 않습니다 (설정된 이론에 몇 가지 단점을 저장함). 두 경우 모두 인수 분해는 NP- 중간이 아닙니다.

3-SAT에서도 가능합니다. 그런 다음 축소를 나타내는 3-SAT 인스턴스 (더 이상 3-SAT가 아님) 만 고려 (축소 사용)해야합니다.

내가 어디로 잘못가요?

임의의 NP 문제  을 CSP로 변환하면 제약 조건 언어 (관계 세트) 가있는 인스턴스 세트가  . Schaeffer의 정리에 따르면 CSP ( ) 의 모든 인스턴스 를 결정하는 것은 P에 있거나 NP에 완전 하다는 것입니다. 그러나 일부 제한된 인스턴스 세트 (예 : 문제 을 변환하여 얻은 인스턴스) 만 결정하면  더 쉬울 수 있습니다. 특히  이 NP- 중간 인 경우 CSP ( ) 의 해당 인스턴스를 푸는 것도 NP가됩니다.Γ Γ L L Γ L $L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$-중간 – 인스턴스를 의 인스턴스로 다시 변환하여  해결할 수 있습니다. 그러나 모든 CSP ( ) 인스턴스 의 클래스를 해결하면 NP가 완료 됩니다.$L$$\Gamma$

Schaefer의 정리는 매우 구체적인 상황을 다룹니다. 유한 관계 의 관계 가 주어지고 의 복잡성에 관심이 있습니다 . Schaefer의 정리는이 문제가 NP- 완전인지 P인지를 결정하는 알고리즘을 제공합니다. 다른 상황은 다루지 않습니다.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

당신은 CSP에 정수 인수 분해 같은 문제를 번역 할 때, 당신은 관계의 집합 사용 하도록 NP-전체 (정수 인수 분해 P에없는 것을이, 주어진 공통의 신념이다 ). 그러나 인스턴스는 임의적이지 않으므로 Schaefer의 정리는 복잡성에 대한 상한 만 제공합니다. 정수 인수 분해는 실제로 NP-complete가 아닐 수도 있습니다.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$