Mandelbrot는 어떤 의미에서 "계산 가능"으로 설정되어 있습니까?

만델 브로트 집합은 수학의 아름다운 창조물이다.

높은 정밀도로 만들어진이 세트의 아름다운 이미지가 많이 있으므로 분명히이 세트는 어떤 의미에서 "계산 가능"합니다.

그러나 나에게 관심이있는 것은 반복적으로 열거 할 수 없다는 것입니다. 단순히 세트가 셀 수 없기 때문입니다. 이것은 점의 유한 한 표현을 요구함으로써 해결 될 수 있습니다.

또한 많은 포인트가 세트에 속하고 다른 포인트는 그렇지 않다는 것을 알고 있지만 세트의 멤버십을 모르는 포인트도 많습니다. 지금까지 보았던 모든 이미지에는 "n 개의 반복까지 바운드 된 상태로 유지되는"많은 포인트가 포함될 수 있지만 해당 포인트는 실제로 세트에 속하지 않을 수 있습니다.

따라서, 유한 한 프리젠 테이션이있는 주어진 포인트에 대해, "이 포인트가 세트에 속합니까?" 내가 옳다면 아직 결정 불가능한 것으로 판명되었습니다.

이제 어떤 의미에서 만델 브로트 세트가 "계산 가능"이라고 말할 수 있습니까?

computability

— 지구 엔진
소스

"그러나, 걱정되는 것은 재귀 적으로 열거 할 수 없다는 사실입니다. 단순히 집합이 셀 수 없기 때문에." -아마 당신이 걱정해서는 안됩니다. 결국, 에있는 아주 간단한 점 집합 은 셀 수 없습니다. 예를 들어 입니다.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112는 Monica

답변:

Mandelbrot가 계산 가능하다는 의미를 정의하는 몇 가지 방법이 있습니다. 한 가지 가능한 정의는 Blum-Shub-Smale 모델입니다. 이 모델에서 실제 계산은 실제 숫자에 대한 액세스가 기본 산술 및 비교로 제한되는 RAM 시스템과 유사한 시스템에 의해 모델링됩니다. Blum과 Smale 은이 모델에서 Mandelbrot 세트를 계산할 수 없음을 보여 주었지만, 보완하는 데 사용되는 기존 알고리즘을 사용하여 보완 요소를 재귀 적으로 열거 할 수 있습니다.

또 다른 모델은 계산 가능한 분석 인데, 허들 링 ( Hertling)이 보여주는 것처럼 만델 브로트 세트가 계산 가능한 것으로 추정된다 (가장 널리 알려진 추측, 쌍곡선 추측에 대한 조건). 이 모델에서 Mandelbrot 세트를 계산한다는 것은 원하는 정확도 내에서 Mandelbrot 세트에 대한 근사값을 계산할 수 있음을 의미합니다 (정확한 정의는 계산 가능한 분석에 대한 참조 참조).

그렇다면 컴퓨터가 만델 브로트 세트를 그릴 수있는 것처럼 보이는 이유는 무엇입니까? 전통적인 알고리즘이 작동한다는 것을 보여주는데있어 가장 어려운 점은 포인트가 세트에 속한다고 결정하기 전에 얼마나 많은 반복이 실행될지를 미리 말하기 어렵다는 것입니다. 허링 (Hertling)은 광범위하게 믿어 진 쌍곡선 추측이 성립된다면 합리적인 경계가 존재 함을 보여준다. 아마도 프로그램은 단순히 오래 기다립니다. 또는 그들은 오래 기다리지 않지만 약간의 포인트 만 잘못 얻습니다.

— 유발 필름 러스
소스

나는 두 모델을 모두 보았지만 둘 다 나에게 충분하지 않습니다 ... 유한 옆의 가장 좋은 것은 컴팩트하고 Mandelbrot 세트는 컴팩트하기 때문에 "컴퓨터 블 컴팩트"라고 주장하는 모델이 있어야한다고 생각합니다 어쩐지.

과 같은 세트의 경우 "컴퓨터 블 로컬 컴팩트"라고 말할 수 있습니다.

R

$R$

— 어스 엔진

기본적으로 Mandelbrot 세트는 계산할 수 없습니다 (우리가 아는 한). 이미지가 표시된다고해서 이미지가 계산 가능한 것은 아닙니다. 이러한 이미지는 근사법을 사용하여 계산합니다. 프로세스가 휴리스틱으로 설정된 임계 값보다 오래 실행되면 코드는 절대 종료되지 않는다고 가정합니다. 이 휴리스틱은 잘못된 것일 수 있으며 그 결과 이미지가 100 % 정확하지 않을 수 있습니다. 다시 말해, 그 사진들은 "the"Mandelbrot 세트의 이미지가 아닙니다. 그것들은 Mandelbrot 세트에 대한 근사치입니다.

— DW
소스

근사값 만 계산한다는 사실은 문제가 아니라고 생각합니다. 계산 시간을 늘리면 이러한 근사치가 Mandelbrot로 설정된 한계로 수렴되는지 여부가 더 중요합니다. 내가 당신을 오해합니까?

— babou

@babou, 왜 이것이 문제가됩니까? Halting 문제에 대한 근사치 인 알고리즘을 제공 할 수 있습니다. 즉, Halting 문제에 대한 올바른 솔루션의 한계로 수렴하지만 Halting 문제를 계산할 수 있다고 생각하기에는 충분하지 않습니다. 나는 당신이 나를 오해하지 않는다고 생각합니다.

— DW

나는 어딘가에 혼란스러워해야한다. 나는 무한한 물체가 계산 가능한 물체의 무한 시퀀스의 한계라면 한계에 대한 수렴이 어떻게 행동 해야하는지에 대한 특정 조건이있는 경우 계산 가능한 것으로 간주 될 수 있다는 인상을 받았습니다. 내 이해에 구멍이있는 것 같습니다.

— babou

@babou, 알았어. 나는 당신의 기억과 이해를 의심하지 않습니다. 나는 그 계산 성의 개념에 대해 들어 본 적이 없지만 당신을 믿습니다.

— DW

먼저, 당신은 항상 내 기억 / 이해를 의심해야합니다. 여기에서 논의되는 많은 부분이 (이전의) 전문 분야가 아닙니다. 실제로 내 이해는 계산 가능한 실제에서 읽지 않은 내용에 의존하며, 필요한 정밀도로 균일 한 방식으로 계산 가능한 것으로 이해했습니다. 그런 다음 부분적으로 정렬 된 세트의 유한 구조의 한계로 무한 구조에 대한 오래된 의미 론적 이해가 있지만 두 가지가 어떻게 연결되어 있는지 확실하지 않습니다.

— babou