단어 길이를 가진 단항 언어의 규칙 성은 두 개의 resp의 합입니다. 세 개의 사각형

나는 단항 언어 에 대해 생각합니다 . 여기서 는 길이가 제곱 의 합인 모든 단어로 설정 됩니다. 공식적으로 : 이것은 보여 쉽다고 정규 아니다 (예를 펌핑 - 보조 정리로). 또한 각 자연수는 4 제곱의 합이라는 것을 알고 있습니다. 이래로 모든 언어 가 규칙적 .$L_k$$L_k$$k$

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

이제 및 사례에 관심이 있습니다 .$k=2$$k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , .$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

불행히도, 나는이 언어가 규칙적인지 아닌지를 보여줄 수 없습니다 ( Legendre의 3 제곱 정리 또는 Fermat의 정리 의 도움을 받아도 ).

나는 적어도 가 규칙적이지 않지만 불행하게 생각하는 것이 증거가 아니라고 확신합니다 . 어떤 도움?$L_2$

시작 . 2 제곱의 합인 정수의 상한 밀도는 0 인 것으로 알려져 있다. 가 규칙적이라면, 결국 주기적 일 것이고, 따라서 상한 밀도는 0이므로 유한하다. 그러나 우리는 임의로 큰 정수가 있으므로 가 규칙적이지 않다는 것을 있습니다.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

과 관련하여 단어를 고려하십시오 . I는 위해 주장 , 단어 inequivalent이다. 실제로, 반면 입니다. Myhill–Nerode 기준은 이 불규칙 하다는 것을 보여줍니다 .$L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

가정 $L_3$규칙적입니다. 그렇다면 Legendre의 3 제곱 정리에 의한 보완 은$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$. 으로 Parikh의 정리 ,이 길이의 집합을 의미하는 것$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ 반 선형, 즉 유한 조합 $\bigcup_{i=1}^NS_i$ 선형 세트 $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$.

두 가지 요소를 고려 $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ 와 $k_1>k_2$하자 $r:=k_1-k_2$. 만약$s_1,s_2$ 둘 다 같은 $S_i$그렇다면 어느 쪽인가 $2s_1-s_2$ 또는 $2s_2-s_1$ (여기에 따라 $s_1<s_2$ 또는 $s_1>s_2$). 그러나

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$, 어디 $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$,
• $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$, 어디 $l'=2l_2-4^rl_1$.

이들 중 어느 것도 $S$그래서 $s_1,s_2$다른 조합원이어야합니다. 그러나 이것은 불가능합니다.$S$ 유한 한 조합이며, 무한히 많은 다른 $k$.

따라서, $L_3$ 규칙적이지 않습니다.