4 NAND 게이트 만 사용하여 XOR 게이트를 구성하는 방법은 무엇입니까?

xor게이트, 이제 4 nand게이트 만 사용하여이 게이트를 구성해야합니다

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

xor = (a and not b) or (not a and b)인

나는 대답을 알고 있지만 공식에서 게이트 다이어그램을 얻는 방법은 무엇입니까?

편집하다

나는 직관적으로, 나 에게이 단계를 수행하고 정의를 수행하면이 것을 얻어야합니다 xor = (a and not b) or (not a and b).

및 xor(5)로 구성된다 nand게이트 (이하 제 1 이미지)

제 질문은 더 비슷합니다. 역사상 첫 번째 사람이이 공식을 이해한다고 상상해보십시오. 어떻게 그 (또는 사고 과정) nand가이 공식에서 4 가지 해결책을 단계적으로 얻을 수 있을까요 ?

그 공식에서? 할 수 있습니다. 그러나 이것으로 시작하는 것이 더 쉽습니다 : (여기 다른 표기법을 사용하여)

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

좋아, 이제 뭐? 결국 우리 ~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))는 5 개의 NAND를 가지고있는 것처럼 보이지만 회로도처럼 두 번 사용되는 하위 표현식을 가져야합니다 .

메이크업 뭔가 그래서 그런 외모 ~(a & b) & a(와 같은 일 만에 b끝)하고 곁에 있습니다 희망 : ( and에 분배를 통해 or)

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

꽤 가까운 지금, 그냥 중간을 켭니다 드 모르 강의를 적용 or로 and:

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

그리고 그게 다야.

나는 당신이이 증거를 요구하고 있다고 생각합니다 :

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

NAND결과 방정식에 5 초가 사용되었지만 !(AB)회로를 설계 할 때 복제본 이 한 번만 사용됩니다.

이미 쉽게 awailable 다이어그램 대답이 때문에 위키 피 디아를 A와 구글 당신에게 질문 제목을 입력하여 .PNG도 당신 동일한 당신이 그림에서 추출하여 공식을 발견하기가 쉬워야한다. NAND 정의를 $\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$:

• 가장 왼쪽의 게이트는 ;$C=\overline{AB}$

• 상단 게이트는 .$D_1=\overline{AC}$

• NAND가 AND와 같은 정류자이므로 상단 게이트는 제공합니다 .$D_2=\overline{BC}$

• 가장 오른쪽 게이트는 합니다.$E=\overline{D_1D_2}$

모든 것을 종합하면 먼저

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

마찬가지로 : $\overline{D_2}=B\overline A$

따라서
$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

정확히 XOR의 정의입니다. 답을 확인하기보다는 초기 데이터에서 시작하려면이 모든 것을 되돌릴 수 있습니다.

사전 지식이없는 답변 찾기

이것은 솔루션을 처음부터 찾는 방법에 대한 질문에 대한 편집으로 추가 된 명시 적 요청에 응답하기위한 것입니다. 질문은 사고 과정에 관한 것이므로 모든 세부 사항을 제공합니다.

나는 문제의 제약 (4 개의 NAND 게이트 만)과 사이 대칭에 의존하려고합니다.$A$$B$ 하여 솔루션에 보존 될 수 있습니다.

$\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$.

그래서 우리는이 게이트에 어떤 종류의 입력이 원하는 출력을 생성하는지 추측 할 수 있습니다.

$\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

우리가 얻은 결과 로이 마지막 공식을 통일 하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

• $\overline X=A\overline B\;$$X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$.

• $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$.

Note that this is only the simplest possibility. There are other pairs of inputs that would give the desired result, because we are not unifying in a free algebra, since NAND has equational properties. But we try that for a start.

The problem is now whether we can obtain both $X$ and $Y$ from $A$ and $B$ with 3 NAND gates.

We could try to repeat the unification procedure (I did), but this will naturally lead us to using four more gates, hence to a 5 gates solution.

Assuming we are on the right track, we need two NAND gates to produce $X$ and $Y$. So that leaves us with only one gate to produce a formula $Z$ that combined with $A$ or $B$ will provide the input for these two intermediate gates.

Given that we have to provide symetrically for $X$ and $Y$, we can expect that $Z$ should be symmetric in $A$ and $B$. Hence this leftmost NAND gate should take both $A$ and $B$ as input.

This first NAND gate, with $A$ and $B$ as input, produces as output:

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

Now, we have to check whether combining $Z$ with itself, $A$, $B$, 0, or 1 through a NAND gate can produce $X$, and also $Y$.

We know that combining a value with itself, 0 or 1 through a NAND gate is either the identity function or the negation. So the only remaining candidates are $A$ and $B$.

It is easy to check that

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

Similarly $\text{NAND}(Z,B)=Y$

Hence we can compose these four gates to get the desired result, i.e., the XOR function.

I take the input $(0,0)$ as an example.

For $\text{XOR}$, the desired output is 0. However, $\text{NAND}(0,0) = 1$.

• Because the only way to get a 0 using $\text{NAND}$ is (at the last layer) $\text{NAND}(1,1) = 0$, you should first produce two 1's.

  • According to $\text{NAND}(0,1) = 1$ or $\text{NAND}(1,0) = 1$, you produce a 1 using one $\text{NAND}(0,0)$ at the first layer and feed it, along with one input 0, into a second layer $\text{NAND}$.

Only four $\text{NAND}$s are involved. But it is only correct for the input $(0,0)$ so far. So you need to check other inputs $(0,1), (1,0),$ and $(1,1)$ against the solution and find that it just works. Lucky.

I tried my best to give the answer using formula as asked.Hope you appreciate it.
Z=AB'+A'B
Z=AA'+AB'+BB'+A'B --->BB'=AA'=0
Z=A(A'+B')+B(B'+A')
Z=A(AB)'+B(AB)' --> Hint
so now (AB)' can get through 1st NAND gate,then in 2nd and third NAND gate the output of 1st NAND gate pass through with one of the input as A and B.After this we need one more complement so use fourth NAND gate.
NAND(1st)=(AB)'=A'+B'
NAND(2nd)=(A(AB)')'=(A(A'+B'))'=(AB')'=A'+B
NAND(3rd)=(B(AB)')'=(B(A'+B'))'=(A'B)'=A+B'
NAND(4th)=[(A'+B)(A+B')]' =[A'B'+AB]'=(A+B)(A'+B')=AB'+A'B

Happy!

The formula: XOR = (a and not b) or (not a and b).

Thats' not what you want, you want a formula that is a NAND. Remember that not (a or b) = not a and not b, and therefore (a or b) = not (not a and not b). Therefore

(a and not b) or (not a and b) =

not (not (a and not b) and not (not a and b)) =

not ((not a or b) and (a or not b)) =

NAND (not a or b, a or not b).

So we used one NAND gate, and have to calculate (not a or b) and (a or not b) using three NANDs. We turn each expression into a NAND:

not a or b = not (a and not b) = NAND (a, not b)

a or not b = not (not a and b) = NAND (not a, b)

Now we observe that (x and y) = x and (not x or y): If x is false then both sides are false. If x is true then (not x or y) = (false or y) = y. This is true for NAND just as it's true for AND. Therefore

NAND (a, not b) = NAND (a, not a or not b) = NAND (a, NAND (a, b))

NAND (b, not a) = NAND (b, not b or not a) = NAND (b, NAND (a, b)).

So we first find mid = NAND (a, b), left = NAND (a, mid) and right = NAND (b, mid), finally XOR = NAND (left, right).

*From left to right--D1,D2,D3,D4 ** D1=(A.B)' OR(A'+B')

suppose

(A.B)'=C

D2=(A.C)'=A'+C'

D3=(B.C)'=B'+C' then

D4=(D2.D3)'

D4=((A.C)'.(B.C)')'

D4=(A.C)''+(B.C)''

D4=(A.C)+(B.C)

D4=A.(A'+B')+B.(A'+B')

D4=AB'+BA' {A.A'=B.B'=0}**