최근 튜링의 정지 문제에 대한 결정 불가능한 증거는 러셀의 이발사 역설과 매우 유사하다는 흥미로운 비유를 들었습니다.

그래서 수학자들은 Cantor의 순진한 현장 공식화에서 좀 더 복잡한 공리 시스템 (ZFC set theory)으로 전환하여 중요한 배제 (제한) 및 추가를 통해 세트 이론을 일관되게 만들었습니다.

따라서 튜링 머신보다 강력하고 표현력이 뛰어나고, 존재 증거를 얻거나 정지 문제를 해결하기위한 알고리즘을 얻을 수있는 일반적인 계산에 대한 추상적 인 설명을 시도해 볼 수있을 것입니다. 임의의 튜링 머신?

당신은 실제로 비교할 수 없습니다. 순진한 이론에는 역설이 있었는데, 이는 ZFC의 이론에 의해 제거되었다. 과학 연구의 기본 가정은 일관성을 달성 할 수 있다는 것 (일부는 추론이 성가신 사업이 됨)이므로 이론은 일관성을 위해 개선되어야한다. 수학자들이 가능할 것으로 예상하고 문제를 해결하기 위해 노력했다고 생각합니다.

계산 이론과 정지 문제에는 그러한 상황이 없습니다. 역설이나 불일치가 없습니다. TM 정지 문제를 해결할 수있는 Turing 머신이 없습니다. 그것은 단순히 역설이 아니라 정리입니다.

따라서 우주에 대한 우리의 이해에서 일부 돌파구가 지금 우리가 상상할 수있는 것 이상의 계산 모델로 이어질 수 있습니다. TM 영역 내에 남아있는 매우 약한 형태의 유일한 이벤트는 아마도 양자 컴퓨팅 일 것입니다. 계산이 아니라 복잡성 (얼마나 오래 걸리는가)에 닿는이 매우 약한 예를 제외하고,이 행성의 어느 누구도 TM 이외의 계산이 기대된다는 단서를 의심합니다.

또한 정지 문제는 튜링 기계가 일련의 기호 인 유한 텍스트로 설명 될 수 있다는 사실의 직접적인 결과입니다. 이것은 실제로 우리가 아는 한 우리가 아는 모든 사실에 해당되며, 이것이 연설과 책이 매우 중요한 이유입니다. 이는 증명 및 계산을 설명하는 모든 기술에 적용됩니다.

따라서 T + 머신을 사용하여 계산 방식을 확장 할 수있는 방법을 찾아야합니다. 그것은 우리가 유한 문서를 작성하는 것 이상으로 지식을 표현하는 방법을 찾았다는 것을 의미합니다.이 경우 모든 것이 관할권에서 벗어납니다 (나는 절대 무능함을 주장합니다) 그리고 아마도 다른 사람의 것입니다. 또는 유한 문서에서 여전히 표현 가능하며,이 경우 T + 기계에 대해 자체 정지 문제가 발생합니다. 그리고 당신은 다시 질문을 할 것입니다.

실제로 그 상황은 반대로 존재합니다. LBA (Linear Bounded Automata)와 같은 일부 유형의 기계는 Turing 기계보다 약합니다. 그들은 매우 강력하지만 LBA가 LBA의 중단 문제를 해결할 수 없다는 것이 TM에 대해 수행 된 것과 정확히 일치 할 수 있습니다. 그러나 TM은 LBA를 위해 그것을 해결할 수 있습니다.

마지막으로, 특정 문제에 대한 답변을 제공하고 답변을 위해 TM에 의해 호출 될 수 있지만 물리적으로 존재하지 않는 장치 인 oracle을 도입하여보다 강력한 계산 모델을 상상할 수 있습니다. 이러한 오라클 확장 TM은 위에서 고려한 T + 머신의 예입니다. 그들 중 일부는 TM 정지 문제를 해결할 수는 있지만 (추상적으로는 아닙니다) 추상적으로도 자체 정지 문제를 해결할 수는 없습니다.

글쎄, 당신은 항상 일반적인 튜링 머신 정지 문제에 대한 오라클이 장착 된 튜링 머신을 고려할 수 있습니다. 즉, 새 기계에는 특수 테이프가 있으며, 일반 테이프 기계에 대한 설명과 해당 입력을 기술하고 해당 기계가 해당 입력에서 정지하는지 물어볼 수 있습니다. 한 단계로 답을 얻을 수 있으며이를 사용하여 추가 계산을 수행 할 수 있습니다. (단일 단계인지 여부는 중요하지 않습니다. 유한 한 단계 수로 보장된다면 충분합니다.)

그러나이 방법에는 두 가지 문제가 있습니다.

1. 이러한 오라클이 장착 된 튜링 머신은 자체 정지 문제를 결정할 수 없습니다. 일반 정지 문제의 결정 불가능하다는 튜링의 증거를이 새로운 설정으로 쉽게 수정할 수 있습니다. 실제로 "Turing degree"라고하는 무한 계층 구조가 있습니다. 계층의 다음 레벨에 이전 계층의 중지 문제에 대한 오라클을 제공하여 생성됩니다.

2. 그러한 오라클이 실제로 구현 될 수있는 방법을 제안한 사람은 없습니다. 그것은 이론적 인 장치로서 매우 훌륭하지만 아무도 그것을 만드는 방법에 대한 단서가 없습니다.

또한 ZFC는 어떤면에서는 순진한 이론보다 약하지만 강하지는 않습니다. ZFC는 Russell의 역설을 표현할 수 없지만 순진한 이론은 표현할 수 없습니다. 따라서 튜링 머신보다 약한 계산 모델에 대해 정지 문제가 결정 가능한지 여부를 묻는 것이 더 좋습니다. 예를 들어, DFA가 모든 입력에 대해 정지되도록 보장되므로 결정 론적 유한 오토마타 (DFA)의 정지 문제를 결정할 수 있습니다.

경고 : 철학적 / 비 정답

이것은 약간 "철학적"이 될 수 있지만, 이것이 당신의 질문의 정신에 맞는 것 같습니다.

반복 불가능한 기계

정지 문제의 증거 중 하나는 튜링 기계가 기능처럼 작동한다는 것입니다. 동일한 입력의 경우 항상 동일한 출력을 제공합니다. 이 속성을 제거하면 컴퓨터가 자체 속성을 검색 할 수 있다는 의미에서 "일반적인"중지 문제를 처리 할 필요가 없습니다. 그러나 그러한 기계의 바람직한 이론적 특성을 많이 잃어 버립니다.

속성 제거

그것은 이론을 범주 이론으로 옮기는 것과 조금 비슷합니다. 당신은 한계를 잃음으로써 일부 "역설"을 풉니 다. 그러나 결과는 처리하기가 훨씬 어렵습니다.

이 경우 다음을 의미합니다. 기계가 "올바른"결과를 제공하는지 전혀 알 수 없습니다. 어떤 결과가 올바른지 항상 결정할 수있게되면, 기계 자체를 적용하고 모순을 만들어 일종의 "정지 문제"를 처리해야합니다. 따라서 그러한 기계는 그리 유용하지 않을 것입니다.

Halting Problem은 Turing Machines의 한계를 표현하기 위해 고안된 것이 아니라 한정된 수의 기호를 사용하여 표현할 수있는 모든 논리 시스템 의 한계를 표현하기 위해 고안되었습니다 . 논리 시스템이 특정 복잡성의 문제에 대한 솔루션을 표현할 수있게되면 해결할 수없는 문제도 표현할 수 있습니다. 이전에는 해결할 수 없었던 모든 문제에 대한 솔루션을 표현하기에 충분한 논리 시스템의 확장에는 해결할 수없는 새로운 문제를 표현하는 기능도 포함됩니다.

특정 "향상된 튜링 머신"사양이 주어지면 ETM 프로그램을 검사하고 중단 여부를보고 할 수있는 "슈퍼 강화 튜링 머신"을 지정할 수 있지만 SETM은 다음에 대한 프로그램 만 분석 할 수 있습니다. ETM--SETM 프로그램을 분석 할 수 없습니다. 새로운 기능을 추가 할 때 자체 분석기에 대한 새로운 요구 사항이 생성되고 기능을 요구 사항에 "잡을"수있는 방법이 없기 때문에 프로그램 자체를 분석하고 중단 여부를 결정할 수있는 시스템을 정의 할 수있는 방법이 없습니다. .

이러한 머신은 구상되었으며 슈퍼 튜링 머신 이라고 합니다. 수퍼 터링 머신의 여러 주요 클래스는

• 실수 기계 (예 : 아날로그 컴퓨터)
• 무한 시간이 주어진 튜링 머신
• 비 결정적 튜링 머신

모든 수퍼 터링 기계가 정지 문제를 해결할 수있는 것은 아닙니다 (특히 비 결정적인 튜링 기계는 불가능합니다). 그러나 개념적 기계는 적어도 생각 실험에서 만들어졌습니다.