빈 언어에 대한 Kleene Star 작업

: 내 텍스트 책에서 언급되어 경우 비어있는 언어입니다. $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

그러나 이며 은 모든 언어입니다. $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

Kleene 스타 작업이 이라는 사실을 지적하기 때문에이 개념을 직관적으로 파악할 수 없습니다 . $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

그래서 왜 동일하지 ? $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— 사 그닉
소스

이 답변을 참조하십시오 . 기본적으로, 비어 있지 않은 세트에 대한

식의 일관성

. 이것은 경우에 확장

보다 자연스러운 확장있다. 이것은 세미 링에서 일반적으로 선택됩니다. 나머지는 Kleene 스타의 정의에서 따릅니다.

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou

그러나 숫자의 경우

은 정의되지 않은 채로 있습니다. 주로 기억하는 연속성 문제로 인해 종종

과 동일하게 정의하는 것이 편리 할 수 있습니다 .

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou를

간단히 말해서 , 정의에 의해 모든 대해

이기 때문 입니다.

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— 라파엘

@Raphael 예. 그런 식으로 넣을 수 있습니다. 그러나

일 때 임의적 입니다. 아마 내 대답을 다르게 써야 할 것입니다. 설명하기가 너무 힘듭니다.

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— babou

@babou 결국 모든 정의는 임의적입니다. 일부 정의는 도움이되고 다른 정의는 도움이되지 않습니다. Imho, 기본적으로 정의에 직관을 찾으려고 노력하는 것은 거의 도움이되지 않으며 때로는 해 롭습니다.

— 라파엘

답변:

이제 언어 의 거듭 제곱을 고려 하면 . 이것을 , 즉 음이 아닌 정수와 일관되게 하려면 을 정의해야합니다 . 그것을 했다면 됩니다. 따라서 우리는 $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ 를 포함하여 다른 사람의 사이에 대해 $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ $x=1$ 모든 대해 가됩니다. 따라서 이것은 분명히 일관성이 없습니다. 언어 연결의 동일성 인 이외의 다른 선택에 대해서도 유사한 불일치가 발생합니다. $W^1=W=\emptyset$ $W$ $\{\epsilon\}$

그러므로의 유일한 일관 일관된 정의 $W^0$ 비어 있지 않은 세트 대한 는 입니다. $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

이 경우에 정의를 확장 한 후 편리 로 . $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

이것은 일관되고 편리한 정의이며, 종종 반고리에 채택되지만 다른 일관성있는 정의가없는 경우와 달리 증명할 수 없습니다 . $W\neq\emptyset$

그러나 다른 정의는 일관성있는 방식으로 제공되어야합니다.

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

이 주제는 많은 웹 페이지에서 논의됩니다. 숫자의 반고리의 경우 (정밀도 부족은 의도적 임)이 페이지에서 자세히 설명합니다. 영의 제로 전력 ? $0^0=1$ .

언어의 세미 링은 이 답변에 설명되어 있습니다.

— 바부
소스

이 답변은 모든 의심을 해결했습니다. 그리고 그 연결은 훌륭했습니다.

— Sagnik

에서 0 단어의 연결은 빈 단어 이므로 입니다. 더 일반적으로, 언어에 대한 의 149) 클린의 별 (Kleene star의 에서 단어의 수를 모두 연결 구성 , 숫자가 포함 제로 단어 $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$ .

— 유발 필름 러스
소스

나는 "제로 단어의 연결"이라는 개념을 직관적으로 이해할 수 없었기 때문에 더 수학적 설명을 찾고있었습니다. 그러나 @babou의 답변 과이 답변을 읽은 후에 모든 의심이 사라졌습니다. 감사합니다.

— Sagnik

"... 언어 L의 경우, Kleene 별 L *는 L의 단어 수 (0 개의 단어를 포함하는 숫자)로 구성됩니다." 엡실론은 한 단어이므로 엡실론을 포함하는 단어 수가 0이라고 어떻게 말할 수 있습니까? 제발 수정 해주세요

— Palak Jain

제로 단어의 연결은 빈 단어 인 연결의 중립 요소입니다. 같은 방식으로, 제로 요소의 합은 0이고, 제로 요소의 곱은 1이며, 제로 세트의 합집합은 빈 세트 등입니다.

— 유발 Filmus