5 개 요소를 정렬 (순서 정렬)하는 데 필요한 최소 비교 수

5 개의 요소를 정렬 (순서 정렬)하는 데 필요한 최소 비교 수를 찾고이 수의 비교를 사용하여 이러한 요소를 정렬하는 알고리즘을 고안하십시오.

해결책 : 5가 있습니다! = 120 개의 가능한 결과. 따라서 정렬 절차를위한 이진 트리의 수준은 7 단계 이상입니다. 실제로 ≥ 120은 h ≥ 7을의미합니다. 그러나 7 번의 비교로는 충분하지 않습니다. 5 개의 요소를 정렬 (순서 정렬)하는 데 필요한 최소 비교 수는 8입니다.$2^h$$h$

내 실제 질문은 다음과 같습니다 .8 비교에서 알고리즘을 찾았지만 7 비교에서 수행 할 수 없다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까?

해결책이 잘못되었습니다. 깊이 [1; 2 초 동안 5.3.1]은 단지 7 개의 비교만으로 5 개의 값을 분류 할 수 있음을 보여준다.

답은 일반적인 알고리즘이 아니라 맞춘 방법 입니다. 또한 좋지 않습니다. 이것은 개요입니다 :$n=5$

1. 처음 두 쌍을 정렬하십시오.

2. 쌍을 각각 더 큰 요소로 주문하십시오.

   결과를 라고 부릅니다 . 우리는 a < b < d 및 c < d를 알고 있습니다.$[a,b,c,d,e]$$a<b<d$$c<d$

3. 를 [ a , b , d ]에 삽입하십시오 .$e$$[a,b,d]$

4. 3 단계 결과에 를 삽입하십시오 .$c$

첫 번째 단계는 두 가지 비교를 명확하게 수행합니다. 두 번째 단계는 하나뿐입니다. 마지막 두 단계는 각각 두 가지 비교를 수행합니다. 두 경우 모두 3 요소 목록에 삽입하고 (4 단계의 경우 에서 c 가 현재 목록의 마지막 요소보다 작다는 것을 알 수 있음 ) 먼저 중간 요소와 비교하십시오. 총 7 개의 비교가 이루어집니다.$c<d$$c$

이 "좋은"의사 코드를 작성하는 방법을 보지 못 했으므로 테스트 된 (그리고 잘 읽을 수있는) 구현에 대해서는 여기 를 참조 하십시오 .

1. 박사 HB Demuth의 논문 (Stanford University) (1956)

   HB Demuth (1985)의 전자 데이터 정렬 참조

2. 정렬 및 검색 : Donald E. Knuth; 컴퓨터 프로그래밍 Vol. 3 (1998 년 2 판)

비교 기반 정렬에 대한 이론적 인 하한은 $\log(n!)$ 입니다. 즉, < 또는 > 비교 만 사용하여 $n$ 항목 을 정렬하려면 최소한 n 의 밑이 2 인 로그가 필요합니다 ! 따라서 log ( 5 ! ) ≈ 6.91 작업입니다.$<$$>$$n!$$\log(5!) \approx 6.91$

$5!= 120$ 부터 ! = 120 및 $2^7= 128$ 이면 이진 결정 트리를 사용하여 7 개의 비교에서 5 개의 항목을 정렬 할 수 있습니다. 트리는 120 개의 순열 중 정확히 어떤 순열을 찾은 다음 스왑을 정렬하는 데 필요합니다.

예쁘거나 짧은 코드는 아니며 코드 생성 방법을 사용하여 의사 결정 트리와 스왑을 작성하는 것이 아니라 직접 작성해야합니다. 5 개 항목의 가능한 순열에 대해 작동하므로 7 개 이하의 비교에서 5 개 항목을 정렬 할 수 있음을 증명합니다.

나는 퀵 정렬을 생각하고 있었다. 중간 요소 인 요소를 피벗으로 선택합니다. 피벗을 나머지 4 개 항목과 비교하여 두 개의 파일을 정렬합니다. 이 더미들 각각은 1 개의 비교로 분류 될 수 있습니다. 내가 끔찍한 실수를하지 않는 한, 5 항목은 6 번의 비교로 완전히 정렬되었으며 작업을 수행하는 데 필요한 비교 횟수는 가장 적습니다. 원래의 질문은 5 개의 요소를 정렬하는 데 가장 적은 수의 비교를 찾는 것입니다.

알고리즘을 테스트 할 수 있으면 모든 숫자 조합에서 알고리즘을 테스트하십시오. 숫자가 많은 경우 임의의 조합을 많이 테스트하십시오. 정확하지는 않지만 모든 조합보다 빠릅니다.

최소
a <b <c = 2
a <b <c <d = 3
a <b <c <d <e = 4

극대
3 ^ 3
4 ^ 4
5 ^ 5

4 개의 숫자에 대해 중간 사용 3-6에 삽입합니다.
4 개의 숫자에 4-5를 병합합니다.
위키에 의한 최소 비교는 4 개의 숫자에 대해 5입니다. :) 5는 7입니다. 여전히 8을 사용합니다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_required_to_sort_a_list
비교 전에 모든 것을 알고 있다면 비교를 통해 내려갈 수 있습니다. 4 개의 숫자에 대한 내 평균은 모든 조합 3.96 / 1024입니다.