미터법 공간 포인트 세트에서 중심점 찾기

나는 세트 $n$ 미터법 공간에 정의 된 점들 – 그래서 점들 사이의 '거리'를 측정 할 수 있습니다. 이 세트에서 가장 중심점을 찾고 싶습니다.이 점은 다른 모든 점까지의 거리의 최소 합을 가진 점으로 정의합니다. 메트릭 계산이 느리므로 가능한 경우 피해야합니다.

이 점을 찾는 확실한 방법은 $n^2$ 단순히 (a) 각 포인트에 대해 다른 모든 포인트까지의 거리의 합을 계산 한 다음 (b) 최소 포인트를 취하기 때문에 메트릭 거리 계산.

이보다 적은 일을 할 수있는 방법이 있습니까 $O(n^2)$ 거리 비교? (어쩌면 어떤 식 으로든 삼각형 부등식을 사용하는 것이 아마도 내 메트릭과 일치해야합니다.)

정확한 방법이 존재하지 않으면 근사치가 충분할 수 있습니다.

— 문호 개방 물류
소스

삼각형 불평등이 없거나 측정되지 않은 모서리에 대한 정보를 얻는 다른 방법이 없다면,

O (n^{2})

$O(n^2)$ 유일한 해결책입니다. 이것은 길항제 논쟁으로 볼 수 있습니다.

— Kittsil

삼각형 부등식을 사용할 수 있다고 가정합니다. 내 메트릭에 적합해야합니다.

— 오픈 도어 물류

이것은 본질적으로 삼각형의 등가성을 갖는 그래프의 라디오를 계산하는 것입니다.

— Kaveh

@Kaveh 그래프가 깨진 가장자리가 아닌 한 반지름을 의미한다고 생각합니다. 내가 모르는 어휘가 너무 많아서 확인하고 있습니다. --- 그러나 그것은 완전한 그래프이며, 입력 크기는 꼭짓점의 수입니다.

— babou

@OpenDoorLogistics 삼각형 부등식이없는 경우, 정의에 의한 미터법 공간이 아닙니다. 질문을 명확히하십시오. 만약 그것이 공간이라는 것을 알고 있다면, 삼각형의 불평등이 있다는 것을 알게됩니다. 삼각형 부등식이 있는지 모른다면, 그것이 미터법 공간이라고 주장 할 수 없습니다.

— David Richerby

답변:

아니요. 넌 더 잘할 수 없어 $\Theta(n^2)$ 최악의 경우.

모든 점 쌍이 거리에있는 점들의 배열을 고려하십시오 $1$ 서로로부터. (이것은 가능한 구성입니다.) 그러면 모든 에지를 검사하는 것보다 더 나은 방법은 없습니다. 특히, 당신이 검사하지 않은 가장자리가 있다면, 상대방은 그 가장자리의 길이를 다음 중 하나로 선택할 수 있습니다 $0.9$ , $1.0$ 또는 $1.1$ ; 이러한 선택은 모두 다른 모든 관측치 및 메트릭 요구 사항 (예 : 삼각형 부등식)과 일치하므로 세 가지 모두 가능합니다. 그러나 다른 출력이 필요합니다. 따라서 알고리즘이 해당 에지를 검사하지 않고 무언가를 출력하는 경우 공격자는 항상 알고리즘의 출력을 잘못 만드는 검사되지 않은 에지의 길이를 선택할 수 있습니다.

그러나 모든 포인트가 $\mathbb{R}^d$ (좌표가 제공되지 않더라도) 측정하여 문제를 해결할 수 있습니다. $O((d+1)n)$ 변질이 없다고 가정 할 때의 거리 ( $d+1$ 점은 동일 평면 상에 있습니다).

특히 $d+1$ 무작위로 가리 킵니다. 이것들은 앵커 포인트가 될 것입니다. 쌍별 거리가 주어지면 쌍별 거리와 일치하는 좌표를 계산할 수 있습니다. 이제, 다른 모든 시점에 $P$ 에서 거리를 계산 $P$ 각 고정 점에. 삼각 분할과이 거리를 사용하여 $P$ 기준점을 기준으로 $P$ . 앵커 포인트가 아닌 모든 포인트에 대해이 작업을 수행하십시오. $P$ . 이제 모든 점에 대한 좌표가 있으며,이 좌표를 사용하여 오라클에 더 이상 쌍 거리를 제공하도록 요구하지 않고 중심점을 찾을 수 있습니다. 이 마지막 단계를보다 빨리 수행 할 수 있는지 모르겠습니다 $O(n^2)$ 시간이 있지만 더 이상 페어의 거리를 측정하지 않고 수행 할 수 있습니다.

— DW
소스

당신은

n

$n$ 차원의 포인트

n - 1

$n-1$ . 입력의 모든 좌표를 보더라도

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ 시각.

— Louis

@Louis이 질문은 차원에 대해 아무 것도 말하지 않으며 그것이 메트릭인지 확실하지 않습니다. 우리가 가진 것은 삼각형의 불평등입니다. 따라서 Kaveh의 의견에 대한 올바른 견해는 완전한 그래프입니다. 그것은이 답변과 일치합니다. 그러나 고정 통계와 일치하는지 여부는 알 수 없습니다.

n

$n$ 바운드없이 자랍니다.

— babou

@DW Thanks-평균적인 경우 더 잘할 수 있을까요? 이는 실제 문제로 인해 발생하므로 데이터가 '평균적'일 수 있습니다 (무엇이든 의미가 있음).

— 오픈 도어 물류

@all-혼란에 대한 사과 : 메트릭 (이론적 CS의 평신도). 내 거리 기능은 미터법 공간 링크 의 Wikipedia 정의에 따라 미터법 공간에 대한 4 가지 기준을 확실히 준수합니다 .

— 오픈 도어 물류

@ OpenDoorLogistics, 나는 더 잘 할 수있는 특별한 경우를 추가했습니다.

— DW

미터법 공간에 대한 빠른 알고리즘에 대한 Piotr Indyk의 작업을 확인하십시오. ( STOC '99 , pp.428–434. ACM, 1999; PS의 절차 에서 미터법 공간 문제에 대한 하위 선형 알고리즘 ) 3 장은 선형 시간 근사 1- 중간 알고리즘을 제공합니다.

— 사용자
소스

알고리즘을 요약 해 주시겠습니까? 외부 콘텐츠에 대한 링크가 아닌 완전한 답변을 찾는 것이 이상적입니다.

— David Richerby

매우 느린 답변에 대해 사과드립니다. 분명히 StackExchange를 자주 확인하지 않습니다. Piotr의 논문은 아름답게 작성되고 알고리즘을 매우 선명하게 설명하며 그 옆에 모든 정확한 정의가있는 반면 반쯤 괜찮은 요약을 작성하는 데 1 시간 이상이 걸릴 것이라고 생각합니다. 따라서 개인적으로 제작할 수있는 중간 품질의 내부 콘텐츠보다는이 고품질 외부 콘텐츠를 사용하는 것이 좋습니다. 짧은 대답은 다음과 같습니다. 대략적인 중앙값을 찾으려면 선형 시간 O (n)으로 할 수 있습니다 .

— user71641