Welch-Berlekamp 알고리즘의 오류 수를 어떻게 결정합니까?

리드 솔로몬 코드를 디코딩하기위한 Welch-Berlekamp 알고리즘에서, 하나는 알려지지 않은 위치 에서 에 오류가 있는 메시지를 나타내는 포인트 목록 이 주어진다 ( 는 알고리즘에 주어진다). 출력은 오류가 발생한 지점을 제외한 모든 주어진 지점을 통과하는 다항식입니다.$(a_i, b_i)$$e$$b_i$$e$

이 방법은 다음과 같은 형태의 선형 방정식 시스템을 푸는 것을 포함합니다.

모든 여기서 도 갖는 및 기껏도 갖는다 . 변수는 및 의 계수입니다 .$i$$E$$e$$Q$$e+k$$E$$Q$

가 갖는 것을 보장하기 위해, 일반적으로 의 계수 가 1 인 위의 선형 시스템에 대한 제한을 추가합니다 . 그러나 실제로는 반드시 알 필요는 없습니다 . 이를 처리하는 비효율적 인 (그러나 여전히 다항식 시간) 방법 중 하나 는 솔루션을 찾을 때까지 시작하는 모든 값에 대해 를 시도 하는 것입니다.$E$$e$$x^e$$e$$e$$(n+k-1)/2 - 1$

내 질문은 : 를 결정하는보다 효율적인 방법이 있습니까? $e$대안으로, 정확한 값 대신 상한을 사용할 수 있도록 선형 시스템에 수정이 있습니까?$e$

특히 다른 기술을 기반으로 한 완전히 다른 알고리즘이 아닌 리드 솔로몬 코드 에이 특정 디코더를 사용하고 싶습니다.

DW의 답변에 대한 응답으로 다음은 실제 작업 예입니다. 모든 것은 모듈로 7입니다.

plain message is: [2, 3, 2]
polynomial is: 2 + 3 t^1 + 2 t^2
encoded message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 2], [3, 1], [4, 4]]
corrupted message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 3], [3, 1], [4, 4]]

따라서 오류는 세 번째 지점에 있습니다.

언제 $e=2$ 문제의 다항식은

그리고 연결 $x = 0,1,2,3,4$ 시스템을 매트릭스 형태로 제공합니다.

[2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 0]
[1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 0]
[4, 2, 1, 6, 3, 5, 6, 3, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

마지막 행은 $e_2 = 1$. 우리가 얻는 가우시안 제거 적용

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 5]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 5, 2]

그리고 두 자유 변수 모두에 대해 1을 선택하면

[2, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 1]

어느 것이

E is 2 + 2 t^1 + 1 t^2
Q is 4 + 1 t^1 + 0 t^2 + 1 t^3 + 1 t^4

과 $E$ 나누지 않는다 $Q$. 참고$Q$ 과 같은 인수$(t + 6) (t^3 + 2t^2 + 2t + 3) \mod 7$

대한 나는 좋은 해결책을 얻을 :$e=1$

system is:    
[2, 0, 6, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 6, 5, 3, 6, 0]
[1, 3, 6, 4, 5, 1, 0]
[4, 2, 6, 3, 5, 6, 0] 
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

reduced system is:

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 5]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 6]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 2]

solution is [5, 1, 3, 3, 6, 2]
Q is 3 + 3 t^1 + 6 t^2 + 2 t^3
E is 5 + 1 t^1
P(x) = 2 + 3 t^1 + 2 t^2 # this is correct!
r(x) = 0

위의 카운터 예제는 처음부터 작성한 코드에 의해 생성되었지만 (기본적으로 내가 시도한 첫 번째 것임) 솔루션이 손으로 유효한지 확인할 수 있으므로 코드가 버그가 있어도 여전히 주장에 대한 유효한 카운터 예제입니다 를 사용하는 것이 효과적입니다.$e=2$

동일한 절차는 실제로 까지의 많은 수의 오류를 수정합니다 .$e$

요구 사항은 오류가 있는 모든 지점 에서 오류 다항식 가 0이어야한다는 것 입니다. 그 시점에서만 그것이 0이되어야한다고 말하는 것은 없습니다. 다른 지점에서도 0 인 를 가질 수 있으며 정도가 괜찮습니다 .$E(x)$$a_i$$E(x)$$e$

따라서 가 오류 수의 상한 이면 원하는 모든 속성을 갖는 다항식 가 존재 합니다 (즉, 정확히 가 있고 오류가있는 모든 지점에서 0 임). 예를 들어, 미만의 오류가있는 경우, 모든 오류에서 0 인 다항식 가 존재하며 , 더 많은 점에서 0으로 0의 수를 정확히 로 얻습니다 .$e$$E(x)$$e$$e$$E(x)$$e$

마지막으로, 정확성 정리는 그러한 다항식 가 존재하면 Berlekamp-Welch 알고리즘이 그것을 찾을 수 있다고 말합니다. 따라서 미만의 오류가 있더라도 를 식별하기 위해 절차가 여전히 올바르게 작동합니다 . 당신은 일단 , 당신은 식별 할 수있는 오류 무료 입장을, 다음은 간단한 방법으로 디코딩 할 수있다.$E(x)$$e$$E(x)$$E(x)$$n-e$

질문의 "counterexample"에 대한 대화 결과를 문서화하려면 다음을 수행하십시오.

실제로 유효한 반례가 아닙니다. 이 결함은 Berlekamp-Welch가 수정할 수있는 오류 수를 계산하는 데있었습니다. 거리는 이므로 Ran G.가 지적한대로 최대 오류 까지 수정할 수 있어야합니다 . 카운터 예제 및 이므로 절차는 하나의 오류 (예 : 수정할 수 있어야합니다 . 따라서 있는 예제 에서 프로 시저를 실행할 때 프로 시저가 올바르게 작동 할 것으로 예상 할 이유가 없습니다.$n-k+1$$(n-k)/2$$n=5$$k=3$$(n-k)/2=1$$e=1$$e=2$

따라서 반례는 실제로 반례가 아니며 위의 대답과 모순되지 않습니다.