P 또는 NP- 완료로 알려진 구간에 소수가 있는지 확인하고 있습니까?

나는에서 본 이 게시물에 그 간격의 소수가 있는지 숫자의 간격을 체질에 대한 몇 가지 상대적으로 빠른 알고리즘이 있다는 것을 유래에. 그러나 이것은 (간격에 프라임이 있습니까?)의 전반적인 결정 문제가 P에 있음을 의미합니까? 중복 또는 불필요).

한편, 구간이 충분히 큰 경우 (예 : ) Bertrand 's Postulate와 같은 것이 적용되며이 구간에는 확실히 소수가 있습니다. 단, I는 예를 들어 두개의 소수 (임의로 간의 큰 차이가있는 것을 알 . $[N,2N]$ $[N!,N!+ N]$

의사 결정 문제가 PI에 있어도 해당 검색 문제가 어떻게 다루기 쉬운 지 알 수 없으므로 이진 검색을 수행 할 때 알려진 소수 분포에 관한 동일한 속성을 그릴 수 없습니다.

complexity-theory np polynomial-time primes

— 아리
소스

따라서 문제는 다음과 같습니다.

입력 : 정수 질문 : 소수가 $\ell,u$
$[\ell,u]$ 있습니까?

내가 아는 한, 그 문제가 P인지 아닌지는 알려져 있지 않습니다.

내가 아는 것은 다음과 같습니다.

소수성 테스트 (단일 숫자를 제공하고 소수인지 테스트)는 P에 있으므로 범위가 충분히 작은 경우 범위의 각 숫자를 철저하게 테스트하여 소수인지 여부를 확인할 수 있습니다. 일반적인 알고리즘.
경우 크레이머의 추측이 사실이다, 다음 문제는 P. 크레이머의 추측에 가까운 연속 소수 사이의 간격 말한다 있다 다음과 같은 알고리즘은 P에있을 것입니다, 그래서 : 반복 처리를 숫자를 통해 , 그것이 소수인지 각 테스트; 소수 인 것을 찾으면 예 답변으로 즉시 중지하십시오. 당신이 를 누르면 , 대답없이 멈춰라. 크 래머의 추측은 대부분 후에 멈출 것이라고 알려줍니다. $n$ $O((\log n)^2)$ $\ell,\ell+1,\ell+2,\ell+3,\dots$ $u$ 원시성 테스트, 알고리즘이 다항식 시간에 실행되도록합니다. $O((\log \ell)^2)$

불행히도, 주요 격차 에 대한 알려진 결과 는 문제가 P에 있음을 무조건 입증 할만큼 강하지 않은 것 같습니다.
또 다른 간단한 알고리즘은 다음과 같습니다. 에서 무작위 정수 을 반복적으로 선택하여 소수인지 테스트합니다. 소수를 찾거나 모든 정수를 시도했지만 소수가 아닌 경우 중지하십시오 . 경험적으로 우리는 이것이 실제로 효율적일 것으로 기대해야합니다. 소수 정리는 우리가 근처에서 무작위로 숫자를 선택하면 소수 일 확률이 약 임을 알려줍니다 . 따라서 heuristically, 우리는 약 후에 $r$ $[\ell,u]$ $[\ell,u]$ $u$ $1/\log n$ $O(\log u)$ 반복하면 일반적으로 소수와 존재하는 경우 소수를 찾습니다. 쿠폰 수집가의 문제에, 만약 인해 한편, 범위에는 소수가 없다 , 당신은 후 약 중단됩니다 반복. 따라서 소수 사이의 가장 긴 간격의 크기에 대한 상한이 좋으면 BPP에 문제가 있음을 의미합니다. 이러한 상한이 없어도 임의의 문제 인스턴스가 쉽다는 것이 뒤 따릅니다. $[\ell,u]$ $O((u-l) \log(u-l))$
아마도 체질 방법을 적용하여 실제로 실행 시간을 개선 할 수 있습니다 (예를 들어 작은 소수로 나눌 수있는 숫자에 대한 우선 순위 테스트를 피하기 위해). 이것이 점근선 개선으로 이어지는 지 알 수 없습니다.
이러한 기술로 인해 실제로 문제가 쉽게 발생합니다.
위의 언급으로 인해 문제가 NP- 완전하다는 것을 개인적으로 의심합니다.

— DW
소스

O (ℓ u)

$O(\ell u)$

O (poly (\log u))

$O(\text{poly}(\log u))$

O (poly (\log u))

$O(\text{poly}(\log u))$

O (poly (u))

$O(\text{poly}(u))$

\log u

$\log u$

u

$u$

필요하지 않습니다. 당신은 내 혼란을 해결했습니다. 고마워요!

— Quelklef