계산하기 쉽지만 검증하기 어려운 문제가 있습니까?

P NP를 가정하면 NP- 완전 문제는 해결하기 어렵지만 확인하기 쉬운 답변이 있습니다. 정답을 계산하기는 쉽지만 임의의 의도 된 솔루션을 확인하기 어려운 문제를 고려하는 것이 합리적입니까? $\neq$

그러한 문제는 다음 중 하나를 의미한다고 생각합니다.

주어진 모든 입력에 대해 기하 급수적으로 많은 "올바른"답변. 그렇지 않으면 모든 정답을 간단히 계산하여 검증을 수행 할 수 있기 때문입니다.
일부 "올바른"답변은 계산하기 쉽지만 다른 답변은 찾기가 어렵습니다.

complexity-theory

— rphv
소스

나는 그것을 의심한다. 답이 계산하기 쉬운 경우, 인증서 선택이 쉽습니다. 문제가있는 답을 제공하고 문제를 해결하여 답을 "확인"하고 답이 실제로 답인지 확인하십시오.

— Patrick87

@ Patrick87-나는이 문제를 해결했다고 생각합니다. 값 집합

를 입력

와 연관 시키는 다중 값 함수

는 어떻습니까? 그 가정

에서 요소를 선택하는 것은 쉽지만

주어지면

여부를 결정하기가 어렵습니다.

f

$f$

I_{f} (x) = {y_{1}, y_{2}, \dots}

$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$

x

$x$

| I_{f} (x) | = 2^{| x |}

$|I_f(x)| = 2^{|x|}$

I_{f} (x)

$I_f(x)$

z

$z$

z \in I_{f} (x)

$z \in I_f(x)$

— rphv

@ Patrick87 솔버는 결정론적일 수 있으며 기존의 모든 답변 중 하나만 출력 할 수 있습니다 . 그런 다음 두 솔루션이 동일한 지 여부를 확인하는 효율적인 방법이 필요합니다. 세트에 대한 동등성을 문제를 해결하는 것보다 더 어려울 수 있습니까?

— Raphael

나는 실제로 그 부분을 놓쳤다. 죄송합니다. 아직도, 전제를 의심하는 경향이 있습니다. 그것에 대해 좀 더 생각하고 더 적절한 생각이 있으면 돌아올 것입니다.

— Patrick87 2016 년

인증서는 일반적으로는 확인이 쉬운 인증서를 제공하는 경우 이렇게 정의에 의해, 증거를 재구성 할 수있는 쉬운 방법이 있다는 것을 의미한다. 인증서가없는 솔루션은 어려울 수 있습니다.

— Gilles 'SO- 악한 중지'

답변:

인공 문제에 대해 잘하면 많은 문제를 해결할 수 있습니다. 몇 가지가 있습니다 :

단항에 양수 n이 주어지면 n 부울 변수 의 만족스러운 3CNF 공식에 답 하십시오.
하나의 만족스러운 3CNF 공식을 제공하는 것은 쉽지만, 주어진 3CNF 공식이 만족 스러운지 여부를 결정하는 것은 잘 알려진 NP- 완전 문제인 3SAT입니다.
입력이 없습니다. 빈 입력 테이프로 작동 할 때 정지하는 튜링 기계에 응답하십시오.
그러한 튜링 머신을 제공하는 것은 쉽지만, 주어진 튜링 머신의 정지 여부는 결정할 수 없습니다.

추가 : 그건 그렇고, 당신이 마지막 단락에 쓴 보유하고 있다고 생각하지 않는다 :

그러한 문제는 주어진 입력에 대해 기하 급수적으로 많은 "올바른"답변을 의미한다고 생각합니다. 그렇지 않으면 모든 정답을 간단히 계산하여 검증을 수행 할 수 있기 때문입니다.

문제에 하나의 솔루션 이 있다면 실제로 답을 확인하는 것이 올바른 솔루션을 계산하는 것보다 어렵지 않습니다. 그러나 문제에 하나의 쉬운 솔루션과 하나의 어려운 솔루션이 있으면 모든 솔루션을 효율적으로 계산할 수 없습니다. 다음은 그러한 문제 중 하나입니다 (매우 인위적 임).

튜링 머신을 감안할 때 M ", 사실 다음 설명 중 응답 한 M의 빈 입력 테이프가 정지", " M은 빈 입력 테이프에 정지하지 않는다"와 " M은 튜링 기계입니다."
하나 개의 솔루션을주기 쉽습니다 : 항상 " M 은 튜링 기계입니다."를 선택할 수 있습니다 . 그러나 주어진 답변이 정확한지 여부는 결정할 수 없습니다. 이 문제에는 각 인스턴스에 대해 두 가지 솔루션 만 있습니다.

— 이토 츠요시
소스

그러한 문제가“인공적”이라는 의미를 공식적으로 정의하는 합리적인 방법이 있습니까? ( "합리적"이라는 말은 "계산 가능"의 정의가 그 의미에 대한 직관을 포착한다는 말과 같이 널리 합의 할 수있는 것을 의미합니다.)

— Gilles 'SO- 악의를 멈춰라'

@Gilles : 아니요, 그렇게 생각하지 않습니다. 누군가가 이러한 문제를 먼저 겪을 가능성이 거의 없기 때문에 이러한 문제를 "인공적"이라고했는데, 한 가지 대답을하기가 쉽고 주어진 대답 후보의 정확성을 결정하기가 어렵다는 것을 알게되었습니다. 그러나이“인공 성”은 결코 엄격한 개념이 아닙니다.

— Ito Tsuyoshi

이토 츠요시-명확한 답변 감사합니다. 귀하의 통찰력을 반영하기 위해 마지막 단락을 편집했습니다.

— rphv

이토 츠요시의 답변은 "주요"답변을 다루지 만, 추가하고 싶은 미묘한 노트가 두 개있었습니다.

솔루션을 확인하기 어려운 경우에도 짧은 교정 문자열로 솔루션을 확인하는 것이 여전히 쉽습니다. 즉, 추가 정보로 솔루션을 조금 확장하면 쉽게 확인할 수 있습니다. 검증은 항상 NP에 있습니다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 솔루션을 계산하는 에이전트가 사용하는 모든 임의의 비트를 기록한 다음 검증자가 동일한 임의의 문자열을 사용하여 동일한 계산을 실행할 수 있다는 것입니다. 증명자는 임의의 비트를 사용해야합니다. 그렇지 않으면 항상 동일한 답변을 출력하며 검증기는 항상 동일한 방법으로 답변을 계산하여 쉽게 확인할 수 있습니다.
양자 컴퓨터의 경우 이것은 매우 개방적인 질문입니다. 클래식 컴퓨터의 경우 검증기는 항상 검증 자 시뮬레이션 및 동일한 답변을 얻는 지 확인하는 것과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다. 약간 까다로운 문제의 경우, 모든 (지수 적으로 많은) 솔루션에 균일 한 분포를 생성하는 양자 알고리즘이있을 가능성이 전적으로 가능합니다. 매번 다른 답변을 얻을 가능성이 높으므로 증명을 다시 실행할 수 없습니다.

비슷한 종류의 문제의 예로서, Deutsch-Jozsa 문제는 약간의 문제를 겪고 있습니다. 오라클이 균형 잡힌 기능이 아닌 경우, 양자 컴퓨터는 이것이 사실임을 신속하게 판단 할 수 있지만, 고전적인 컴퓨터가이를 확인할 수있는 짧은 증거는 없습니다. (이것은 다른 양자 컴퓨터에 의해 여전히 점검 될 수 있기 때문에 "유사한"문제 일 뿐이며 P에 있지 않더라도 고전적인 BPP에서도 점검됩니다.)

— 알렉스 메이 버그
소스