바쁜 비버는 사람에게 알려진 가장 빠르게 성장하는 기능입니까?

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방금이 흥미로운 질문이있었습니다. 인간에게 가장 빠르게 성장하는 기능은 무엇입니까? 그것은인가 바쁜 비버 ?

우리는 와 같은 함수를 알고 있지만,이 함수는 보다 느리게 증가하고 , 그 결과 보다 느리게 증가합니다 보다 느리게 증가 합니다. 그런 다음 함수를 결합하여 를 가질 수 있습니다 보다 빠르게 커지고 있습니다. $x^2$ $2^x$ $x!$ $x^x$ $(x^x)!$ $x^x$

그런 다음 Ackermann의 함수 와 같이 보다 훨씬 빠르게 재귀 함수에 도달합니다. 그렇다면 사람들 은 Ackermann의 기능보다 훨씬 빠르게 성장하는 바쁜 비버 기능에 대해 설명합니다. $A(x,x)$ $(x^x)!$ $B(x)$

이 시점에서 나는 바쁜 비버보다 빠르게 성장하는 다른 기능에 대해 들어 보지 못했습니다. 그것은 바쁜 비버보다 더 빨리 성장할 수있는 다른 기능이 없다는 것을 의미합니까? (이외에도 팩토리얼의 발 과 같은 등) $B(x)$ $A(B(x), B(x))$

computability

— 몸통
소스

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바쁜 비버 ^ 2 더 빠르게 성장

— artistoex

2

@vzn 왜 성장은 계산 가능한 기능에만 적합합니까? 점근 적 성장은 전산 성과 전혀 관련이없는 수학적 개념입니다.

— Raphael

8

BB의 @vzn은 성장률이 계산 불가능 함을 의미합니다. 그러나 컴퓨팅 능력이 높은 성장률을 의미하지는 않습니다.

— Sasho Nikolov

6

안녕하세요 @vzn. 함수

예는

경우 생성

튜링 기계가 정지 번째 ', 및

, 그렇지 uncomputable하지만 애커 함수보다 더 느리게 증가한다. 반면에, 일부 고정 상수

에 대해 모든

, BB

Ackerman

대해 쉽게 증명할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 설명 길이 의 튜링 기계

를 실행하여 정지 문제를 해결할 수 있습니다.

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

에만 에커에 대한

그 다음 여부 전에 중단하는 경우 단계 및보고.

n

$n$

(n)

$(n)$

— Aaron

4

@vzn 어쩌면 당신이 다른 생각을 가지고 "성장 속도".. 나는 평균에 의해 주어진 부분 순서 (그리고 내가 다른 사람을 믿는) 무엇

.

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Sasho Nikolov

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사용중인 비버 기능은 계산 가능한 기능 보다 빠르게 증가 합니다 . 그러나 중단 문제를 해결하기 위해 오라클에 액세스 할 수있는 튜링 머신으로 계산할 수 있습니다. 그런 다음 "2 차"통화 중 비버 기능을 정의 할 수 있습니다.이 비버 기능은 정지 문제에 대한 오라클을 보유한 모든 튜링 머신에서도 계산할 수있는 기능보다 빠르게 증가합니다. 더 빠르게 성장하는 바쁜 비버 기능의 계층 구조를 구축하여이 작업을 계속 수행 할 수 있습니다.

누가 더 큰 수의 이름을 지정할 수 있습니까?라는 주제에 관한 Scott Aaronson의 훌륭한 에세이를 참조하십시오 .

— 아론
소스

HALT_TM 용 oracle TM이 바쁜 비버를 해결할 수있는 이유에 대한 자원 / 추론이 있습니까?

— Ryan

1

Ryan : 중지 문제를 해결하는 것은 Busy Beaver를 아는 것과 (계산적으로) 동일합니다. 1) program[length=n]정지합니까? BusyBeaver(n)단계별로 시뮬레이션 하십시오. 2) 무엇입니까 BusyBeaver(n)? 길이 <n의 모든 프로그램에 대해 중단되면 버리고 다른 프로그램 중에서 최대 점수를 얻습니다.

— ninjagecko

@ninjagecko 중단하지 않으

— 시겠습니까

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"가장 빠르게 성장하는 기능"과 같은 것은 없습니다. 실제로 가장 빠르게 성장하는 기능은 없습니다. 이것은 이미 Hausdorff가 보여주었습니다. 두 함수 주어지면 이면 가 보다 빠르게 성장 한다고 말 $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$ 함수주어지면다음 함수는보다 빠르게.일련의 함수주어지면, 다음 함수는 모든함수보다 빠르게 증가합니다 :

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{f (n)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g (n) = n f (n) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ 자연스럽게 물어볼 질문은 가장 빠르게 성장하는 기능의 "규모"가 있는지 여부입니다. 이것은 "공식적"인 잘 정리 된 함수

세트입니다 . 즉, 함수

주어지면 더 빠르게 성장하는 함수

있습니다. (잘 정돈 된 세트 대신에, 우리는 동등하게 체인에 대해 말할 수 있습니다. 즉, 세트의 두 기능을 비교할 필요가 있습니다.) 스케일의 존재는 ZFC와 무관합니다. CH를 가정하고 스케일이 있습니다. CH를 위조하는 Cohen의 모델에서 (

실수 추가 ) 스케일은 존재하지 않습니다.

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— 유발 필름 러스
소스

5

다른 답변은 질문을 직접 해결합니다. Lafitte의 주제에 대한보다 심층적 인 배경을 위해 바쁜 비버와 같은 기능의 넓은 맥락을 고려합니다. 또한 아이디어를보다 일반적인 프레임 워크에 맞추는 몇 가지 결과와 정리가 있습니다. 그것은 (비공식적으로) "바쁜 비버와 같은 기능"이 Chaitin 불완전 현상 (Theorem 2.1)과 밀접한 관련이 있음을 보여줍니다. 또한 바쁜 비버와 같은 기능을 "이해할만큼"강력하지 않은 이론, 즉 고델 관련 불완전 성으로 인해 그러한 이론에서 입증 할 수없는 이론이 있음을 보여준다. 그것은 바쁜 비버와 같은 결과를 공리로 가정하는 아이디어와 Turing에 의해 원래 계획된 아이디어와 유사한 이론의 논리적 진행을 보여줍니다.

[1] 바쁜 비버 들은 Grégory Lafitte에 의해 열광했습니다. 추상:

우리는 바쁜 비버 기능을 사용하여 일부 불완전한 결과를 보여줍니다. 그런 다음 순서 논리를 사용하여 사용중인 비버 기능 값을 확실하게 설정할 수있는 이론을 얻는 방법을 보여주고이를 사용하여 이러한 기능 값의 가능성에 대한 구조를 밝힙니다.

— vzn
소스

다른 대답은 완전히 다릅니다. "언어 강조"라고 말하는 hmmm은 "hell no" 라고 말하는 중재자가 될까요? 어쨌든 abbrevs는 편집을 위해 +2를 얻고 싶은 사람들에게 관대 한 선물로 볼 수 있습니다 =)

— vzn

1

당신은 이것이 직접 대답하지 않는다고 스스로에게 말하는데, 왜 댓글로 올리지 않았습니까?

— Raphael

0

Hartmanis-Stearns 시간 및 공간 계층 구조 이론은 스케일이 제한되지 않기 때문에 시간 또는 공간 측면에서 "가장 빠르게 성장하는"기능이 없음을 증명합니다. 그러나 모든 "잘 동작 된"계산 가능 / 재귀 함수를 비교할 수 있는 순서를 제공합니다 . 그러나 많은 "빠른 성장"수학 함수는 다소 명백하거나 심지어 눈부신 이론적 "갭"에도 불구하고 시간 / 공간 복잡성 측면에서 평가되지 않은 것으로 보입니다. 그렇게하면 중요한 "브리지 정리"로 이어질 수 있습니다.

— vzn
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