유한 시간의 무한 계산

이것은 어리석은 생각이지만 무한한 계산 순서를 수행하도록 프로그래밍 된 컴퓨터가 있고 계산이 완료하는 데 초가 걸린다고 가정합니다 . 그런 다음이 컴퓨터는 유한 한 시간 안에 무한한 수의 계산을 수행 할 수 있습니다. $i^\text{th}$ $1/2^i$

왜 이것이 불가능합니까? 사소한 계산을 수행하는 데 걸리는 시간에 하한이 있습니까?

computability computation-models

— dsaxton
소스

관련 개념, 유한 에너지를 사용한 무한 계산 : 다이슨의 영원한 지능 .

— 피터

답변:

이 "종류"의 컴퓨터를 Zeno Machine이라고 합니다. 계산 모델은 Hypercomputation 이라는 범주에 속합니다 . 하이퍼 컴퓨팅 모델은 수학적 추상화이며, 작동하도록 정의 된 방식으로 인해 물리적으로는 불가능합니다.

예를 들어 Zeno Machine을 사용하십시오. Zeno Machine이 주판을 사용하든 집적 회로를 사용하든 상관없이 어떤 종류의 계산 기계라고 생각하면 중요하지 않습니다. 기계가 사용하는 프로그램 데이터가 튜링 기계와 같이 무한 길이의 기호 테이프로 공급된다고 가정하십시오.

물론 우리는 수학에서 다음을 알고 있습니다.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

우리는 과 같다고 말합니다 . 따라서 합계가 완전히 수렴되므로 계산은 1 초 안에 완료되어야합니다. $1$

그러나이 수렴은 물론 무한대로 가고 (그리고 도달하는) 것에 달려 있습니다. 물리적 의미에서 이는 각 계산에 필요한 시간이 줄어들수록 계산기의 "판독 헤드"가 테이프의 기호를 따라 더 빠르고 빠르게 압축되어야한다는 것을 의미합니다. 어떤 시점에서이 속도는 빛의 속도를 초과합니다. $n$

따라서 두 번째 질문에 대답하면 이론상이지만 물리적으로 그럴듯한 계산 모델에서 빛의 속도를 기본 제한 요소로 고려할 때 계산에서 절대 최저 가능 범위는 아마도 플랑크 시간의 순서 일 것입니다.

— 모든 것의 이론
소스

또한 각 작업에 대한 에너지 요구 사항이 조금 내리고 우리 태양보다 배 정도 더 많은 에너지의 몇 배를 필요로

2^{256}

$2^{256}$

— 래칫 괴물

이 프로그램은 10 : GOTO 10 이 Zeno Machine에서 완료됩니까?

— Cano64

간단히 말해서 수학은 "계산"이 범위 내에서 무한히 나눌 수 있다고 가정합니다. 그러나 실제 기계의 경우에는 해당되지 않습니다. 결국 기계가 수행 할 수있는 가장 작은 작업 단위에 도달 할 수 있습니다. 수학이 허용하더라도 그 시점 이후에는 계산을 계속 세분화 할 수 없습니다. 다시 말해서, 당신이 실제로 무한한 일련의 계산의 끝에 다가 가기 오래 전에 기계가 고장납니다. 어느 시점에서 계산 당 시간이 감소를 멈추고 무한 시간이 필요합니다.

— aroth

@ Cano64 나는 그렇게 생각하지 않습니다. 하이퍼 컴퓨팅의 결정 가능성에 대한 기준은 계산의 시간 합계가 절대적으로 수렴한다는 것입니다.

— 모든 이론

원시 계산에 걸리는 시간은 2015 년 9 월 15 일 바로 물리학을 이해하는 한 빛의 속도와 원자의 크기에 의해 제한됩니다.

계산 장치는 0이 아닌 크기 (원자)로 구성되어야하며 계산이 작동하려면 전기 또는 조명이 압축되어야하는데, 이는 조명을 통해 압축하는 데 걸리는 시간에 의해 제한됩니다. 영 거리.

— 데이브 클라크
소스

과학의 한계를 뛰어 넘는 최근의 역사에서 하나의 구체적인 예는 이전에 불가능하다고 생각했던 하드 드라이브의 데이터 밀도를 가능하게 한 Nobel 상을 수상한 발견 인 거대한 자기 저항 입니다. 되돌아 가면 더 많은 것이 많이 있습니다. AD 1500 명의 사람에게 "스마트 폰"의 가능성을 설명해보십시오. (그들은 단지 당신을 마녀로 태워 버릴 수도 있으므로 조심하십시오.) 따라서 우리는 우리의 물리학에 대한 현재의 지식이 가능한 것에 대한 한계를 유발한다고 생각해서는 안됩니다.

— 라파엘

-1

"모든 이론"의 대답은 좋지만 왜 은수렴되며,이 질문에 대한 답변으로 해석 할 수 있습니다. $\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$ $1$

빨간색과 파란색 양동이가 있다고 상상해보십시오. 파란색 통에는 1 리터의 물이 들어 있으며 빨간색 통은 비어 있습니다. 물의 반을 파란색에서 빨간색으로 쏟아 부으십시오. 이제 두 버킷 모두 리터의 물이 들어 있습니다. 당신은 다시 빨간색으로 파란색 버킷에의 절반을 부어 지금이 $\frac{1}{2}$ 파란색 통에 리터의 물과 $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$c_1$ $c_1$

편집 : @aroth가 지적했듯이,이 비유는 우리가 물을 영원히 계속 나눌 수 있다고 가정합니다. 가장 작은 불가분의 원자가 없다는 것입니다. 이것은 계산이 유한 한 시간 안에 끝나기 위해 임의로 나눌 수있는 시간을 가정해야한다는 흥미로운 (제 생각에는) 포인트를 높입니다.

— epa095
소스

"푸른 양동이에 항상 더 많은 물을 쏟아 부을 것입니다."-반드시 그런 것은 아닙니다. 정확하고 충분한 주입 장치를 사용하면 결국 파란색 버킷에 2 분자의 물이있는 지점에 도달하게됩니다. 그런 다음 1 분자. 그런 다음 마지막 분자를 따르거나 그렇지 않습니다. 또는 기본 원자로 분해하지만 더 이상 물이 아닙니다 (또는 STP에 부을 수 있음). 요점은, 당신은 무한 시리즈의 끝에 도달 하기 전에 마지막 물 분자까지 잘 내려갈 것이고, 따라서 파란색 양동이에 "항상"물이 없을 것입니다.

— aroth

@aroth : 그렇습니다. 유추가 작동하려면 물을 "항상 분 산성"의 일종 인 "밀도"를 만족시키는 것으로 생각해야합니다. 중요한 점이 중요하기 때문에 당신의 요점은 흥미 롭습니다. 계산이 유한 한 시간 내에 완료 되려면 시간도 밀도가 높거나 항상 나눌 수 있어야합니다. 불가분의 원자 시간 단위 인 최단 시간이 존재하는 경우, 무한 계산에는 무한 시간이 소요됩니다 (또는 각 계산마다 일정 시간이 걸리지 않아야 함).

— epa095

\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{- i}

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$

2^{- i}

$2^{-i}$

@ 데이비드 - richerby : 그것에 대해 생각하는 쉬운 방법을 제공, 다른 방법으로 문제를 재 작성하지 않는다 정확하게 는 직관을 제공하는 것입니다 무엇? 또한 당신이 있습니다 또한 시간의 양의 유리수의 합에 문제를 재 작성. (아주) 짧은 발걸음이지만, 나머지는 조금도 쉬지 않습니다. 합리적 수의 수렴에 대해 알고 있다면 쉼표를 사용하면 이해하기가 더 쉬워 지지만 일부는 물로 이해하기가 더 쉽다고 확신합니다. 그것은 왜 어떤 무한한 합이 왜 수렴했는지 아닌지를 처음으로 이해 한 방법입니다.

— epa095

@ epa095 직관을 제공하려면 익숙한 상황을 참조하여 익숙하지 않은 상황을 설명하고 한 상황을 잘 알고 다른 상황을 이해하는 데 도움이됩니다. 당신은하지 않습니다 : 당신은 하나의 익숙하지 않은 상황 (무한, 수렴 합계 계산)을 다른 것으로 설명하려고합니다 (완전히 분리 가능한 물 양동이를 완벽하게 붓는 것). 합의 수렴에 대해 아는 사람들은 유추 할 필요가 없습니다. 합의 수렴에 대해 모르는 사람들에게 "이론 수"를 "가설 수의 양"으로 바꾸는 것은 도움이되지 않습니다.

— David Richerby