동적 프로그래밍이란 무엇입니까?

이 질문이 바보처럼 들리면 미리 죄송합니다 ...

내가 아는 한 동적 프로그래밍을 사용하여 알고리즘을 작성하면 다음과 같이 작동합니다.

1. 문제를 재발 관계로 표현하십시오.
2. 메모 또는 상향식 접근을 통해 반복 관계를 구현합니다.

내가 아는 한, 나는 동적 프로그래밍에 관한 모든 것을 말했다. 동적 프로그래밍은 재귀 관계를 표현하거나 코드로 변환하기위한 도구 / 규칙 / 방법 / 이론을 제공하지 않습니다.

동적 프로그래밍의 특별한 점은 무엇입니까? 특정 종류의 문제에 접근하기위한 모호한 방법 이외의 다른 방법은 무엇입니까?

동적 프로그래밍은 알고리즘 설계를 생각할 수있는 방법을 제공합니다. 이것은 종종 매우 도움이됩니다.

메모 및 상향식 방법은 반복 관계를 코드로 변환하는 규칙 / 방법을 제공합니다. 메모 화는 비교적 간단한 아이디어이지만 가장 좋은 아이디어는 종종 있습니다!

동적 프로그래밍은 알고리즘의 실행 시간을 생각할 수있는 체계적인 방법을 제공합니다. 실행 시간은 기본적으로 해결해야하는 하위 문제의 수와 각 하위 문제를 해결하는 데 걸리는 시간의 두 숫자로 결정됩니다. 이를 통해 알고리즘 설계 문제에 대해 쉽게 생각할 수 있습니다. 후보 재발 관계가 있으면 관계를보고 매우 빠르게 실행 시간을 파악할 수 있습니다. 실행 시간; 기하 급수적으로 많은 하위 문제가 해결되어야하는 경우 재발은 좋은 접근 방식이 아닐 것입니다). 또한 후보 하위 문제 분해를 배제하는 데 도움이됩니다. 예를 들어 문자열 , 접두사에 의해 하위 문제를 정의 S [ 1 .. I ] 또는 접미어 S [ J . . n ] 또는 부분 문자열 S [ i . . j ] 는 합리적 일 수 있지만 (하위 문제의 수는 다항식 n ), S 의 하위 시퀀스로 하 위 문제를 정의하는것은 좋은 접근 방법이 아닐 수 있습니다 (하위 문제의 수는 n의 지수). 이를 통해 가능한 재발의 "검색 공간"을 정리할 수 있습니다.$S[1..n]$$S[1..i]$$S[j..n]$$S[i..j]$$n$$S$$n$

동적 프로그래밍은 후보 재발 관계를 찾기위한 구조화 된 접근 방식을 제공합니다. 경험적으로이 접근 방식은 종종 효과적입니다. 특히 입력 유형에 따라 하위 문제를 정의하는 일반적인 방법으로 인식 할 수있는 휴리스틱 / 공통 패턴이 있습니다. 예를 들어 :

• 입력이 경우 양의 정수 하는 하위 문제를 정의하는 하나의 방법은 후보 바꾸어 인 N 보다 작은 정수로 N ' (세인트 0 ≤ N ' ≤ N ).$n$$n$$n'$$0 \le n' \le n$

• 입력이 문자열 인 경우 하위 문제를 정의하는 몇 가지 후보 방법은 다음과 같습니다. S [ 1 .. n ] 을 접두사 S [ 1 .. i ]로 대체합니다 . S [ 1 .. n ] 을 접미사 S [ j로 바꾸십시오 . . n ] ; S [ 1 .. n ] 을 하위 문자열 S [ i로 교체하십시오 . . j $S[1..n]$$S[1..n]$$S[1..i]$$S[1..n]$$S[j..n]$$S[1..n]$$S[i..j]$. (여기서 하위 문제는 의 선택에 의해 결정됩니다 .)$i,j$

• 입력 값이 list 인 경우 문자열과 동일하게 수행하십시오.

• 입력이 경우 트리 하는 하위 문제를 정의하는 하나의 후보 방법은 대체하는 것입니다 T를 의 하위 트리와 T (즉, 노드 선택 X를 하고 교체 T를 루트로하는 서브 트리와 X 하며 하위 문제가의 선택에 의해 결정된다 X ).$T$$T$$T$$x$$T$$x$$x$

• 입력 값이 쌍 인 경우 x 유형과 y 유형을 반복적으로보고 각 하위 문제를 선택하는 방법을 식별하십시오. 즉, 하위 문제를 정의하기 위해 하나의 후보 방법 대체하는 ( X , Y가 ) 가 ( X ' , Y ' ) X ' 대한 하위 문제이고 , X 및 Y ' 대한 하위 문제이다 Y . ( ( x , y 형식의 하위 문제도 고려할 수 있습니다.$(x,y)$$x$$y$$(x,y)$$(x',y')$$x'$$x$$y'$$y$ 또는 ( x ′ , y ) )$(x,y')$$(x',y)$

등등. 이 방법은 매우 유용한 휴리스틱을 제공합니다. 메서드 의 형식 서명 만 확인하면 하위 문제를 정의하는 후보 방법 목록을 얻을 수 있습니다. 다시 말해, 입력 유형 만보고 문제 설명을 살펴보면 하위 문제를 정의 할 수있는 몇 가지 후보 방법을 찾을 수 있습니다.

이것은 종종 매우 도움이됩니다. 재발 관계가 무엇인지 알려주지는 않지만 하위 문제를 정의하는 방법에 대한 특별한 선택이있을 때 종종 해당 재발 관계를 해결하는 것이 어렵지 않습니다. 따라서 종종 동적 프로그래밍 알고리즘의 설계를 구조화 된 경험으로 바꿉니다. 하위 문제를 정의하는 후보 방법 목록을 스크랩 용지에 기록합니다 (위의 휴리스틱 사용). 그런 다음 각 후보에 대해 반복 관계를 기록하고 하위 문제 수와 하위 문제당 소요 시간을 세어 실행 시간을 평가합니다. 각 후보를 시도한 후에는 찾은 최고의 후보를 유지하십시오. 알고리즘 설계 프로세스에 일부 구조를 제공하는 것은 알고리즘 설계가 위협적 일 수 있으므로 중요한 도움이됩니다.

동적 프로그래밍에 대한 이해가 정확하고 ( afaik ) 질문이 정당합니다.

우리가 "동적 프로그래밍"이라고 부르는 종류의 재귀에서 얻는 추가 디자인 공간은 재귀 적 접근 방식의 다른 스키마와 비교하여 가장 잘 볼 수 있다고 생각합니다.

개념을 강조하기 위해 입력 값이 배열 것처럼 가정합시다 .$A[1..n]$

1. 유도 적 접근

   여기서 아이디어는 문제를 더 작게 만들고 더 작은 버전을 해결하며 원래 버전에 대한 솔루션을 도출하는 것입니다. 도식적으로,

   $\qquad f(A) = g\bigl( f(A[1..n-c]), A \bigr)$

   함께 용액 변환 함수 / 알고리즘.$g$

   예 : 선형 시간으로 슈퍼 스타 찾기

2. 나누고 정복

   입력을 여러 개의 작은 부분으로 분할하고 각각의 문제를 해결하고 결합하십시오. 도식적으로 (두 부분으로)

   .$\qquad f(A) = g\bigl(f(A[1..c]), f(A[c+1..n]), A\bigr)$

   예 : 병합 / 퀵소트, 평면에서 가장 짧은 쌍별 거리

3. 다이나믹 프로그래밍

   문제를 더 작은 문제로 분할하고 최선의 방법을 선택하는 모든 방법을 고려하십시오 . 도식적으로 (두 부분으로)

   .$\qquad f(A) = \operatorname{best} \Bigl\{ g\bigl(f(A[1..c]), f(A[c+1..n])\bigr) \Bigm| 1 \leq c \leq n-1 \Bigr\}$

   예 : 거리 편집, 변경 문제

   중요한 참고 사항 : 동적 프로그래밍은 무차별 강제력 이 아닙니다 ! 모든 단계에서 를 적용 하면 검색 공간이 상당히 줄어 듭니다.$\operatorname{best}$

어떤 의미에서, 당신은 점점 더 정적으로 위에서 아래로가는 것을 알고 있으며, 점점 더 많은 결정을 동적으로 내려야합니다.

동적 프로그래밍에 대한 학습에서 교훈는 점이다 좋아 여전히 메모이 제이션을 사용하여 효율적으로 할 수 있기 때문에 (물론,이 정확성에 필요한 것) 가능한 모든 병풍을 시도.

동적 프로그래밍을 사용하면 계산 시간 동안 메모리를 교환 할 수 있습니다. 고전적인 예인 피보나치 (Fibonacci)를 고려하십시오.

피보나치는 재발 됩니다. 이 재귀를 사용하여 해결 하면 재귀 트리는 높이가 n 인 이진 트리이므로 F i b ( ⋅ )에 O ( 2 n ) 호출을 수행하게 됩니다.$Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)$$O(2^n)$$Fib(\cdot)$$n$

대신, 를 계산 한 다음이를 사용하여 F i b ( 3 ) 을 찾고,이를 사용하여 F i b ( 4 ) 등 을 찾으십시오 . 이것은 O ( n ) 시간 만 걸립니다 .$Fib(2)$$Fib(3)$$Fib(4)$$O(n)$

DP는 또한 재귀 관계를 상향식 솔루션으로 변환하는 기본 기술을 제공하지만 비교적 간단합니다 (일반적으로 차원 행렬 또는 이러한 행렬의 경계를 사용하는 경우). 여기서 m 은 매개 변수의 수입니다. 재발 관계). 이것들은 DP에 대한 모든 텍스트로 잘 설명되어 있습니다.$m$$m$

다음은 동적 프로그래밍이 제공하는 다른 표현 방식입니다. 다이나믹 프로그래밍은 기하 급수의 후보 솔루션을 다항식 수의 등가 클래스로 축소하여 각 클래스의 후보 솔루션을 구분할 수 없도록합니다.

길이 n 의 배열 A 에서 길이 의 증가하는 서브 시퀀스 수를 찾는 문제를 예로 들어 보겠습니다 . 모든 서브 시퀀스 세트를 동등 클래스로 분할하여 두 개의 서브 시퀀스가 ​​길이가 동일하고 동일한 색인으로 끝나는 경우에만 동일한 클래스에 속하도록하는 것이 유용합니다. 의 모든 2 개 n 개의 가능한 서브 정확히 하나에 속하는 O ( N 2 ) 등가 클래스. 이 분할은 클래스의 크기에 대한 반복 관계를 정의 할 수 있도록 충분한 정보를 유지합니다. 만약 f ( i , ℓ $k$$A$$n$$2^n$$O(n^2)$$f(i, \ell)$인덱스 끝나고 길이가 ℓ 인 하위 시퀀스 수를 제공하면 다음 과 같습니다.$i$$\ell$

(F)는 ( 나 , 1 ) = 1  모두가  나는 = 1 ...

이 반복은 시간 의 문제를 해결합니다 .$O(n^2k)$