사각형의 색채 다항식

사각형, ABCD를 고려하십시오. 직관적으로 색도 다항식은 이며 색상을 사용할 수 있는 것으로 보입니다 .$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

가되어 그$\lambda$ , A의 색상을 선택할 수있는 방식이 있으며, B 및 D의 색상을 선택하는 방법 은 $\lambda - 1$ 방법 (B 및 D는 A에 인접 해 있음)과 $\lambda - 2$ 는 C를위한 색상 방법이 있습니다 고르기 위하여.

그러나 분해 정리 (슬라이드 47, 예 11.33)를 사용하고 정사각형을 길이 3과 삼각형의 경로로 분해하면 초기 추론이 잘못되었음을 알 수 있습니다.

내 생각에 내가 잘못 가고있는 곳을 말해 줄 수 있습니까?

서로 대각선의 꼭지점은 같은 색으로 표시 될 수 있습니다. 당신의 공식은 그것을 고려하지 않습니다. 포함 제외 원칙을 통해 그래프의 색도를 찾을 수 있습니다. 특정 하위 집합에 대해 특정 경계를 증명할 수있는 경우 복잡한 구조를 계산할 수있는 매우 일반적인 계산 기술입니다.

주요 아이디어는 우리가 어떤 속성이 발생하는 가능한 모든 방법을 세는 것입니다. 그런 다음 "나쁜"항목을 제거합니다. 그러나 너무 많이 제거했을 수 있으며 "좋은"항목을 다시 추가해야합니다. 이것은 우리가 모든 부분 집합을 겪을 때까지 계속 진행됩니다.

$|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

$\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

$A_{e}$

그것을 관찰하십시오 . 이것은 우리가 단지 G를 채색하고 있지만 항상 인접한 정점에 대해 동일한 색상을 선택하기 때문입니다. 앞으로 우리는$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

각 3 세트를 나열하지는 않지만 모두 같은 수를 갖습니다. . 그리고 마지막으로 | A 12 ∩ A 23 ∩ A 34 ∩ A 41 | = λ . 이제 용어를 수집하고 추가합시다.$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

이제 우리는 간단한 4주기를 가지고 있기 때문에이 문제에 대한 포함 제외로 계산하는 것은 그리 나쁘지 않았습니다. 그래프가 더 많은 구조를 가졌다면 가능한 모든 교차점에 대한 각 교차점 크기를 파악하는 것이 번거 롭습니다.

위의 니콜라스 와 이것 의 대답 은 내 생각의 결함을 보는 데 도움 이 되었습니다. 나는 니콜라스에 대해 좀 더 구체적으로 설명하려고 생각했습니다.

서로 대각선의 꼭짓점은 같은 색으로 표시 될 수 있습니다.

또한 내 잘못된 추론을 조정하여 색채 다항식을 얻습니다.

$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$
$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$