감소의 경도와 방향

문제 A가 어렵다는 것을 알면 B도 어렵다는 것을 알기 위해 A를 알 수없는 문제 B로 줄입니다.

예를 들어 3 색이 어렵다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 3 색을 4 색으로 줄입니다. 3 색의 색상 중 하나를 팽팽하게하면 4 색이 표시되고 ergo 4 색은 어렵습니다.

그 방법입니다. 그러나 이것이 왜 4 색이 어렵다는 증거입니까? 4 색 문제에 대한 솔루션을 사용하여 3 색 문제를 해결할 수 있습니까? 그렇다면 어떻게? 그렇지 않다면 왜 유효한 증거입니까?

보너스 q : 다항식 축소가 양방향으로 진행될 수 있어야합니까?

편집 : 만약 이것이 왜 그런지 설명 할 수 있다면 인터넷에 호의를 베풀 것입니다. 어디에서나 구체적인 방법으로 설명하지 못했습니다.

문제의 감소 $A$ 다른 문제에 $B$ 변형이다 $f$ 어떤 경우에도 $a$ 의 $A$ 인스턴스로 $f(a)$ 의 $B$그런

만약 $f$ 관심있는 복잡성을 유지하는 변환입니다 (예 : $f$ 고려하면 다항식 변환입니다 $\mathsf{NP}$-경도) 알고리즘의 존재 $\mathcal A_B$ 해결 $B$ 알고리즘 해결의 존재를 의미 $A$: 실행하기에 충분합니다 $f$그런 다음 $\mathcal A_B$.

따라서 그러한 감소의 존재는 $A$ 에 $B$ 그 의미 $B$ 보다 쉽지 않다 $A$. 다른 방법으로 축소 할 필요는 없습니다.

예를 들어, 그래프 채색의 경우. 3 색을 4 색으로 줄일 수는 있지만 즉각적인 방법은 아닙니다. 그래프를 보면$G$ 그리고 당신은 선택 $f(G)=G$ 그러면 당신은 그것을 가질 것입니다 $x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$ 하지만 당신은 가지고 있지 않습니다 $f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$물론이야. 결론은$(E)$ 존중되지 않기 때문에 $f$축소 가 아닙니다 .

올바른 축소를 만들 수 있습니다 $f$ ...에서 $3\mathsf{COL}$ 에 $4\mathsf{COL}$ 그러나 조금 더 복잡합니다 : 모든 그래프 $G$, 허락하다 $f(G)$ 그래프이다 $G$ 다른 노드로 확장 $u$ 그것은 다른 모든 노드와 연결되어 있습니다.

• 변환은 복잡성 보존입니다 (여기 다항식).
• 만약 $G$ ~에있다 $3\mathsf{COL}$ 그때 $f(G)$ ~에있다 $4\mathsf{COL}$: 네 번째 색만 사용하십시오. $u$;
• 만약 $f(G)$ ~에있다 $4\mathsf{COL}$ 다음을 제외한 모든 노드가 $u$ 색이 아닌 $u$따라서 $G$ ~에있다 $3\mathsf{COL}$.

그게 증명 $f$ 감소이며 $4\mathsf{COL}$ ~보다 어렵다 $3\mathsf{COL}$. 같은 방식으로 증명할 수 있습니다$n\mathsf{COL}$ ~보다 어렵다 $m\mathsf{COL}$ 어떠한 것도 $n≥m$, 흥미로운 증거는 $3\mathsf{COL}$ 어느 것보다 어렵다 $n\mathsf{COL}$.