안녕하세요! 나는 실제로 Archives Nationales of France에서 인턴십을하고 있는데 그래프를 사용하여 해결하려는 상황에 직면했습니다 ...

먼지가 많은 상황

보관소 비용을 최소화하기 위해 도서관 도서의 높이를 기준으로 책 배열을 최적화하려고합니다. 책의 높이와 두께는 알려져 있습니다. 우리는 이미 책을 높이 의 오름차순으로 정렬 했습니다. 각 책의 두께를 알면 각 클래스 마다 배열에 필요한 두께를 결정 하고 라고 부를 수 (예 : 높이 의 책 은 총 두께 ).$H_1,H_2,\dots,H_n$$H_i$$L_i$$H_i = 23\,\mathrm{cm}$$L_i = 300\,\mathrm{cm}$

라이브러리는 원하는 길이와 높이를 나타내는 맞춤형 선반을 제작할 수 있습니다 (깊이에는 문제 없음). 높이 및 길이 의 선반 비용은 . 여기서$H_i$$x_i$$F_i+C_ix_i$$F_i$ 고정 비용이며 $C_i$ 길이 단위당 선반 비용입니다.

높이 선반 $H_i$ 높이 책을 저장하는 데 사용할 수 있습니다 $H_j$ 와 $j\leq i$. 비용을 최소화하고 싶습니다.

교사는이 문제를 길 찾기 문제로 모델링 할 것을 제안했습니다. 이 모델에는$n+1$ 정점 색인 양식 $0$ 에 $n$. 멘토는 기존 조건, 각 엣지 의미 및 평가 방법을 해결하도록 제안했습니다.$v(i,j)$ 가장자리와 관련 $(i,j)$. 또한 다른 솔루션과 통찰력도 괜찮습니다.

예를 들어 컨벤션 (프랑스 역사의 어두운시기)에는 다음과 같은 배열이 있습니다.

$$\begin{array}{|c|rr} i & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline H_i & 12\,\mathrm{cm} & 15\,\mathrm{cm} & 18\,\mathrm{cm} & 23\,\mathrm{cm}\\ L_i & 100\,\mathrm{cm} & 300\,\mathrm{cm} & 200\,\mathrm{cm} & 300\,\mathrm{cm} \\ \hline F_i & 1000€ & 1200€ & 1100€ & 1600€ \\ C_i & 5€/\mathrm{cm} & 6€/\mathrm{cm} & 7€/\mathrm{cm} & 9€/\mathrm{cm}\\ \end{array}$$

II. 연수생 책벌레의 가정

Djikstra, Bellman 또는 Bellman-Kalaba 사이의 알고리즘을 계산해야한다고 생각합니다 ... 다음 하위 섹션에서 어떤 알고리즘을 찾으려고합니다.

1. 조건

우리는 척추 사이의 길 찾기 문제가 있습니다. $0$ 그리고 꼭짓점 $n$, $n$ 에서 나가야합니다 $0$ (즉, 경로 (또는 도보)는 $0$ 과 $n$

2. 계산 대상 (업데이트 됨 (2015 년 10 월 25 일))

// 정점과 모델링 할 모서리를 모르는 한 계속 진행 중입니다 ...

내 최선의 추측

배열에서 가장 짧은 경로를 찾을 때마다 적어도 한 가지 유형의 선반을 제거한다고 생각하지만 그건 내 가정입니다 ...;).

선반을 구입하고 책을 보관하는 방법을 모델링하는 가장 좋은 방법은 다음 그래프와 같아야한다고 생각합니다 (그러나 제 방법을 비판하십시오!;)

꼭짓점 :

• $i\in[1,4]$ 책을 보관하는 데 사용할 수있는 선반입니다.
• $0$책이 저장되지 않은 상태입니다. 이 정점을 사용하면 각 비용 공식 (가장자리)을 사용할 수 있습니다.

가장자리 : $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$선반 유형을 사용하는 비용입니다. 예를 들어 :$F_1+C_1x_1$ fom 0은 양피지, 원고를 저장하기 위해 유형 1 선반 만 사용하는 비용입니다 ...

그러나 여기에서 가장 짧은 경로 문제를 만드는 방법을 모르겠습니다.

사실, 나는 나의 모든 책을 어디에 보관할 것인지 알 수 없었습니다.

이것은 나를 다른 아이디어로 인도합니다 ...

또 다른 아이디어 ...

여기에서는 주어진 정점에서 0 상태까지의 최단 경로, 즉 가장 높은 문서가 $type \ i$ 키가 크고 문서를 정리하는 가장 저렴한 방법을 찾고 있습니다.

꼭짓점 :

• $i\in[1,4]$ 책을 보관하는 데 사용할 수있는 선반입니다.
• $0$모든 책이 저장된 상태입니다. 이 정점을 사용하면 각 비용 공식 (가장자리)을 사용할 수 있습니다.

가장자리 : $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$선반 유형을 사용하는 비용입니다. 예를 들어 :$F_1+C_1x_1$ 3에서 비용은 $type \ 1$ 사용 후 선반 $type \ 3$ 양피지, 원고를 보관할 선반 ...

그러나 나는 어디에 넣을 지 모른다. $F_4+C_4x_4$.

3. 계산 방법

작은 책을 보관할 수있는 한 높은 선반부터 시작해야한다고 생각합니다.

하다

우리는 $L_n$ 와 cm $H_{i=n}$ 높이의 선반 높이 + $z$ 의 cm $H_{i=n-1}$ 그것이 복용보다 더 비싸 질 때까지 높이 $H_{i=n-1}$선반. 그때$i=i-1$

i> <0 동안

마지막으로 x를 다양하게 만드는 방법을 모르겠습니다 ...

즉, 선택하는 방법을 말하는 것입니다 $x_i$ 문서 $4$ 또는 $3$ 예를 들어.

"Dijkstra의 알고리즘으로이 문제를 해결하고 싶지만 실행할 수있는 좋은 그래프를 설정할 수 없습니다."라고 묻습니다. 그런 그래프가 표시됩니다.

꼭짓점이 책장 세트 인 디 그래프.

자, 키가 큰 책이 있습니다 $H_n,$ $1 \le n \le N$ 그리고 폭 $W_n,$ 각 책의 높이가 오름차순으로 정렬되어 선반에 그룹화됩니다.

솔루션 노드에이 숫자를 재사용하십시오 $n,$ 여기서 해당 노드는 솔루션 상태 "모든 책"을 나타냅니다. $i \le n$ 우리는 노드에서 시작합니다 $0$ 그리고 노드에 가려고 $N$Dijkstra의 알고리즘으로 가장 짧은 경로로. 이 노드는 그래프의 꼭짓점입니다.

그런 다음 노드에서 그립니다. $i$ 모든 노드에 $j \gt i$ 이 중개 도서가 모두 하나의 선반으로 선반에 놓일 것이라고 가정하는 방향성 모서리 (예 :이 모서리의 길이는

$$L_{ij} = F_j + C_j~\sum_{n=i+1}^j W_n,$$ 내가 당신이 합산 비용을 말했을 때 $F_i + C_i x_i$ 아래 첨자 $i$ 에 $x_i$ 완전히 의미가 없었습니다.

Dijkstra의 알고리즘은 노드에 가장 짧은 길이의 경로를 제공합니다 $N.$

---

귀하의 문제에 대한 해결책이 있다고 생각합니다. 잘만되면 나는 당신의 문제의 정의에서 무언가를 오해하지 않았습니다. 여기 간다:

동적 프로그래밍 접근법을 설명하겠습니다. 그것은$O(n^{2})$ 알고리즘은 책의 수가 많기 때문에 많은 도움이되지 않습니다. (조금 수정해야합니다!). 약간의 작업으로 상기 동적 프로그래밍 접근법을 직접 비순환 그래프에서 최단 경로를 찾는 인스턴스로 바꿀 수 있습니다. (자체 동적 프로그래밍 알고리즘은 : P)

있다고 가정하자 $n$ 다른 높이의 책들.

또한 책을 다음과 같이 할당하여 최적의 비용을 달성한다고 가정하십시오. $i$ 높이 선반 $h_{1},h_{2},...,h_{i}$ 어디 $h_{1}<h_{2}<...<h_{i}$.

다음 두 가지를 증명해 봅시다.

ㅏ. $C_{a}>C_{a-1}$

반대로 가정하십시오. 허락하다$B_{a-1}$ 서가에 지정된 도서 세트 $a-1$ 그때 $cost = other,stuff + C_{a-1}*thickness(B_{a-1})$

이후 우리는 $C_{a}<C_{a-1}$선반의 모든 책을 옮기자 $a-1$ 에 $a$ (이후 가능하다 $h_{a-1}<h_{a}$.

그래서 지금, $cost =other,stuff + C_{a}*thickness(B_{a})$이전보다 낮습니다. 따라서 우리는 가정 한 최적 성으로 인해 모순이 있습니다.

그래서 $C_{a}>C_{a-1}$ 생성 된 모든 선반

B. 렛 $j$ 서가에 지정된 책이어야합니다 $a$. 그것을 증명하자$height(j)>h_{a-1}$

이것은 매우 쉽습니다. 만약$height(j)$ 보다 작았 다 $h_{a-1}$ 책을 선반에 넣을 수있었습니다 $a-1$ 더 나은 비용으로 (A로 인해).

우리가 입증 한 두 가지 중에서 B가 중요한 것입니다.

허락하다 $dp[a]$= 책꽂이를위한 최적의 비용 $1...a$ 선반이 있도록 $height(a)$. 정의 할 방법을 찾아야합니다$dp[a]$ 값으로 $dp[1],dp[2],....dp[a-1]$

나는 여기서 멈출 것이다. 사실 B를 사용하여 동적 프로그래밍에 익숙한 경우 재발을 쉽게 수행 할 수 있습니다. 그렇지 않으면 :)로 문의하십시오. 내가 말했듯이, 이것은 DAG 문제로 바뀔 수 있습니다. 위의 관계를 알면 가장자리가 무엇인지 쉽게 알 수 있습니다.$(a,b)$ 비용을 의미하고 정의합니다.

마지막으로, 위에서 말했듯이 책이 크기 때문에 각 책마다 알고리즘을 사용할 수 없습니다. 두께의 합으로 높이를 나타내는 것이 트릭을 수행해야한다고 생각합니다. (나는 당신의 진술에서 이미 그런 것 같아요)

(나는 다른 높이의 수가 책의 수보다 훨씬 적다고 생각합니다)

---

때로는 문학에서 "가장 가까운 문제"에 대한 "확대"가 문제의 이론과 배경을 이해하고 추상화를 구축하며 가짜 세부 사항을 제거하는 데 도움이 될 수 있습니다. 귀하의 문헌에서 가장 가까운 문제는 "가변 크기 빈 포장 문제"로 알려진 것 같습니다. 샘플 용지는 다음과 같습니다. 이 문제는 이론적으로 고도로 연구되었으며 일부 상용 소프트웨어가 있으며 트럭 운송 컨테이너와 같은 포장 상자를 최적화하는 데 나타납니다. 컨테이너 크기를 조정할 수있는 버전도 있습니다. 많은 알고리즘 접근법이 있습니다. 예를 들어, ^{첫 번째} 논문에서 :

이 논문에서 다루는 문제는 주어진 사각형 모양의 아이템 세트를 최소한의 3 차원 사각형 빈에 직각으로 포장하는 문제이다.

• 시뮬레이션을 통한 3 차원 BIN 패킹 최적화 / Kanavathy Dube

• 부피와 용량이 불확실한 빈 포장 문제 / Peng, Zhang

• 3D 빈 포장 알고리즘 , stackoverflow