마스터 정리에 규칙적인 조건이있는 이유는 무엇입니까?

Cormen et al.의 알고리즘 소개를 읽었습니다 . 그리고 73 쪽에서 시작하는 마스터 정리의 진술을 읽고 있습니다. 3의 경우 정리를 사용하기 위해 충족되어야하는 규칙 성 조건이 있습니다.

... 3. 경우

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

상수 경우$\varepsilon > 0$

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$      [ 이것은 규칙적인 조건입니다 ]

일부 상수 $c < 1$ 과 충분히 큰 $n$ , ..

규칙 성 상태가 왜 필요한지 말해 줄 수 있습니까? 조건이 충족되지 않으면 정리는 어떻게 실패합니까?

엄격한 증거는 아니지만 "내 머리 꼭대기에서"설명.

재발 을 나무라고 상상해보십시오 . 세 번째 경우는 루트 노드가 실행 시간을 점진적으로 지배하는 시나리오, 즉 대부분의 작업이 되풀이 트리의 측정 가능한 노드에서 수행되는 시나리오를 다룹니다. 그런 다음 실행 시간은 입니다.Θ ( f ( n ) $aT(n/b)+f(n)$$\Theta(f(n))$

루트가 실제로 더 많은 작업을 수행하도록하려면

$a f(n/b) \leq cf(n)$ .

이것은 (루트에서 수행 된 작업의 양)이 최소한 하위 수준에서 수행 된 작업의 합계만큼 커야 한다고 말합니다 . (반복은 입력의 시간 이라고 .)a n /$f(n)$$a$$n/b$

예 재발 루트 아래 수준 일 큰 넷째 하나로 만 회 수행 대 루트 지배하므로.( N / 4 + N / 4 ) $T(n)=2T(n/4)+n$$(n/4+n/4)$$n$

그러나 함수가 규칙 성 조건을 충족시키지 못하면 어떻게 될까요? 예 : 대신 ? 그러면 하위 레벨에서 수행 된 작업이 루트에서 수행 된 작업보다 클 수 있으므로 루트가 지배하는지 확실하지 않습니다.$\cos(n)$$n$

하자 및 , 그래서 사례 3을 적용하려면 (일부 )과 규칙 성 조건 (일부 ). 증명에서 규칙 성 조건을 얻습니다. 즉 증명 생성 개념입니다. 규칙 성 조건은 필요하지 않지만 (Wikipedia에 제공된 예제, ) 다음 예제에서 볼 수 있듯이 완전히 삭제할 수는 없습니다. 고려 이라고하자b = 2 T ( 2 n ) = n ∑ k = 0 f ( $a = 1$$b = 2$F ( N ) = Ω ( N ε ) ε > 0 F ( N / 2 ) ≤ ( 1 - δ ) F ( N ) δ > 0 F ( N ) =

$$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$$ $f(n) = \Omega(n^\epsilon)$$\epsilon > 0$$f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$$\delta > 0$f ( 2 n ) = 2 2 ⌊ log 2 n ⌋ > 2 2 log 2 n - 1 = 2 n / 2 . n = 2 m + 1 − 1 T ( 2 n ) = m ∑ k = 0 2 k + 1 − 1 ∑ t $f(n) = n(2-\cos n)$ $$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$$ $n = 2^{m+1}-1$. 그런 다음 따라서 사실이 아닙니다 . $$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$$ $T(2^n) = \Theta(f(2^n))$

더 일반적인 정리 인 Akra-Bazzi가 있는데,이 규칙에서 규칙 성 조건은 결과로 나오는 명시적인 수량으로 대체됩니다.