직사각형 조각으로 덮는 NP 경도 (Google Hash Code 2015 Test Round)

Google 해시 코드 2015 테스트 라운드 ( problem statement )는 다음 문제에 대해 질문했습니다.

입력 : 일부 사각형이 표시된 그리드 , 임계 값 , 최대 면적 $M$ $T \in \mathbb{N}$ $A \in \mathbb{N}$
출력 : 각 사각형에 적어도 표시 사각형이 포함되고 각 사각형에 최대 영역이 있도록 정수 좌표를 갖는 일련의 분리 된 사각형 집합의 가능한 최대 총 영역 . $M$ $T$ $A$

Google 용어에서 그리드는 피자, 표시된 사각형은 햄, 분리 된 사각형은 슬라이스입니다.

추가 입력 을 추가하여이 문제를 의사 결정 문제로 명확하게 바꿀 수 있으며, "총 면적이 제곱 이상인 조건을 만족하는 일련의 분리 된 사각형이 있는지"라고 대답 할 수 있습니다 . $n \in \mathbb{N}$ $n$

내 질문 : Google 문제가 후보에게 특정 인스턴스의 계산 문제에 대해 "가능한 한"좋은 해결책을 찾도록 요청했지만 일반적인 문제 (의사 결정 문구)가 NP- 완전한 것 같습니다. 그러나 NP 경도를 나타내는 축소를 찾을 수 없습니다. (NP 멤버쉽은 즉각적입니다.)이 문제가 NP-hard임을 증명하는 방법은 무엇입니까?

다음은 문제를 시각화하는 데 도움이되는 몇 가지 예입니다. 고려 에 의해 격자 , 표시된 사각형 , 및 , 그래픽으로 표현 표시된 사각형을 나타내는 $4$ $4$ $\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$ $(1, 1)$ $(0, 2)$ $(2, 2)$ X

..X.
.X..
..X.
....

집합 (최대 사각형의 제곱)과 (커버 전체 그리드 해당)은 다음과 직사각형을하는, 최적 솔루션 (평방 당 사각형으로 표시 한 적어도) $A = 6$ $6$ $T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

다음 그리드에서 이고 . $A = 3$ $T = 2$

XXX
.X.
...

하나는 세 정사각형을 덮는 것보다 낫지 않습니다.

AAA
.X.
...

또는

XBX
.B.
.b.

파티션의 사각형은 겹칠 수 없습니다.

다른 사람들이이 질문을보고 우리는 빈 포장을 줄이고 문제, 3-SAT 및 해밀턴 사이클을 포함하여 축소를 시도했지만 하나를 작동시킬 수 없었습니다.

complexity-theory reductions np-hard

— a3nm
소스

이것은 MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SAT의 축소 스케치입니다.

정의 [1-3 SAT 문제] :
입력 : A 3-CNF 공식 $\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$ $C_j$ $C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$ $C_j$ 정확히 하나의 실제 리터럴을 포함합니다.

변수를 사용하여 작성된 연결 절이 planar (PLANAR)이고 모든 변수가 정확히 3 개의 절 (CUBIC)에 포함 된 경우 절의 모든 리터럴이 양수 (MONOTONE) 인 경우에도 문제는 NP- 완료 상태로 유지됩니다 (C. Moore 및 JM Robson, 단순 타일의 하드 타일링 문제, Discrete Comput. Geom. 26 (2001), 573-590.).

$T=3, A=6$