P

나는 이것이 매우 어리석은 (또는 너무 명백한) 질문으로 보인다는 것을 알고 있습니다. 그러나 나는 어느 시점에서 혼란스러워합니다.

다항식 시간 으로 NP 의 주어진 문제 인스턴스를 해결하는 알고리즘을 설계 할 수있는 경우에만 P NP$=$ 임을 알 수 있습니다 .

그러나 나는 지구상에서 P NP 임을 어떻게 증명할 수 있는지 이해하지 못한다 . 다음과 같은 비유에 대해 실례합니다. P 가 NP와 같지 않은지 다른 사람에게 알리는 것은 누군가에게 신이 존재하지 않는다는 것을 말하는 것처럼 보입니다.$\neq$

현재 기술에 관계없이 다항식 수의 상태로 NFA (Non-deterministic Finite Automata)로 해결할 수없는 일련의 문제가 있습니다 (느슨한 정의라는 것을 알고 있습니다). 또한, 우리는 몇 가지 중요한 문제 (가장 짧은 경로, 최소 스패닝 트리 및 정수의 합 ) 다항식 시간 문제를 일으키는 상당히 큰 알고리즘 세트를 가지고 있습니다.$1 + 2 + \dots + n$

간단히 말해서 : P NP$=$ 라고 생각 하면 " 다항식 시간에 NP 문제 를 해결하는 알고리즘을 보여줘 !" 라고 말할 것 입니다. 내가 P NP 라고 생각한다고 가정하자 . 그렇다면 정확히 무엇을 물어 보겠습니까? 내가 무엇을 보여주고 싶습니까?$\neq$

대답은 분명히 "당신의 증거"입니다. 그러나 알고리즘이 존재할 수 없다는 증거는 무엇입니까? (이 경우 NP 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘 )

세 가지 방법은 그 증명할 수의 내가 알고 있어요 있습니다 P를$\,\neq\,$NP .

1. $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$회로 복잡성 은 또 다른 것입니다.

2. P 와  NP의 구조적 특성이 서로 다르다는 것을 보여줍니다 . 예를 들어, P  는 보완 아래 닫힙니다. 그 NP를 보여줄 수 있다면$\,\neq\,$co-NP (즉,  보완 중에 NP 가 닫히지 않음)이면 P 여야합니다.$\,\neq\,$NP . 물론 이것은 단지 한 단계 더 깊이 문제를 추진하고 있습니다. NP를 어떻게 증명할 수 있습니까?$\,\neq\,$co-NP ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. 일부 문제가 NP 완료 가 아님을 증명하십시오 . 만약 P$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP .

간단히 말해서 : P = NP 라고 생각 하면 " 다항식 시간에 NP 문제 를 해결하는 알고리즘을 보여줘 !" 라고 말할 것 입니다.

알고리즘이 문제를 해결하고 다항식 시간으로 실행된다는 것을 여전히 증명해야한다는 것을 잊지 마십시오.

내가 P ≠ NP 라고 생각한다고 가정하자 . 그렇다면 정확히 무엇을 물어 보겠습니까? 내가 무엇을 보여주고 싶습니까?

먼저 "왜" P ≠ NP 설명하고이 이유를 사용하여 적합한 논리 프레임 워크에서 P ≠ NP 를 증명할 수있는 이유를 설명하십시오 . 그런 다음 증거를 스케치하고 가장 모호한 부분을 어떻게 방어 할 수 있는지 설명하십시오. 다음으로이 증명을 더 간단한 진술로 나누면 독립적으로 확인할 수 있습니다.

• 예를 들어, ZFC가 제공하는 논리 프레임 워크는 모델의 존재를 증명하는 데있어 (어떤 의미에서는 너무 우수하다) (명시 적으로 주어진 공리 세트, 종종 추가의 메타 학적 특성을 만족시키는 경우도 있음). 따라서 이상한 특성을 가진 모델의 존재와 관련된 P ≠ NP 의 이유를 알고 있다면 먼저이 이유를 설명한 다음 ZFC 내에서 해당 모델을 구성하는 방법을 보여줍니다.
• 예를 들어, P ≠ NP 가 "이유"인 한 가지 이유 는 수학이 임의성을 포함하여 물리적 세계에서 발생하는 거의 모든 것을 근사 할 수 있기 때문이라고 생각 합니다. 그러나 공식적인 시스템은 주어진 문자열, 숫자, "객체"또는 "유물"을 본질적으로 무작위로 증명할 수있는 능력이 매우 제한되어 있기 때문에이 이유가 증명에 사용될 수는 없습니다. 명확하게 주어진 결정 론적 공식 시스템에서. 아마도 확률 적 (양자) 증명 시스템을 설계했다면 사용 가능한 물리적 리소스에 따라 유한 확률까지만 시스템의 특정 증명을 확인할 수 있습니다 ...
• 아마도 비-예제로서, 배제 된 중간의 법칙은 기본적으로 (수학적) 우주에 대한 정적 견해를 반영하기 때문에 역동적 인 우주를 유지할 가능성 은 거의 없습니다 . 이제 NP = coNP (또는 다항식 계층 구조의 다른 축소)는 기본적으로 시간 복잡성과 관련하여 제외 된 중간 법칙의 대략적인 버전이지만 시간 복잡도는 동적 우주에 너무 가깝기 때문에 가능합니다. 우주의 역동적 인 측면을 포착 할 수있는 지라드의 선형 논리와 같은 논리 프레임 워크가 있습니다. 그러나 Brouwer도 비슷한 상황에 있었으며 힐버트의 프로그램의 실패가 그의 취임 연설 직관 론 및 형식주의 에서 사실로 이미 언급되어 있습니다. 1912 년에 (순환 추론이 될 이유를 설명하지만) 1930 년부터 고델의 불완전 성 증명을 스케치조차 할 수 없었습니다.
• 대략적인 예로서, P ≠ NP에 대한 가용 한 증거 , 즉 여행하는 판매원 폴리 토프에 대한 지수 하한 , 약한 비둘기 구멍 원리 로 인한 만족도에 대한 해결 기반 절차의 난이도 를 포착 해 봅시다.. 이 경우 "이유"는 TSP를위한 선형 프로그래밍 공식 또는 해상도 기반과 같은 특정 자연 (고려 된 NP- 완전 문제의 경우) 원리에 의존하는 알고리즘으로 특정 수준의 NP- 완전 문제를 효율적으로 해결할 수 없다는 것입니다. SAT에 대한 증명 방법. 예를 들어, TSP의 마지막 논문은 "LP의 반정의 프로그래밍 재구성과 단방향 양자 통신 프로토콜 사이의 밀접한 관련"을 언급 한 반면, 다른 논문은 이것이 독립적 인 이유를 제시했다. 두 가지 독립적 인 이유, 즉 하한선은 "비둘기 구멍 원리를 나타내는 수식 클래스와 무작위로 생성 된 수식"에 대해 언급했습니다.
  또한 시간이 지남에 따라 결과를 강화하려는 시도가 있음을 알 수 있습니다. TSP의 초기 결과는 대칭 선형 프로그래밍 공식에만 해당되는 반면, 최신 결과에는 이러한 제한이 없으며 TSP 외에 최대 절단 및 최대 안정 세트 문제에도 적용됩니다. 해결에 대한 초기 결과는 기본적인 Davis-Putnam 해결 절차와 단일 종류의 인공 반대 사례를 고려한 반면, 최신 결과는 많은 종류의 해상도 기반 방법을 다루고 자연스럽게 발생하는 여러 종류의 반대 사례를 제시합니다.
  TSP의 경우 TSP, 최대 컷 및 최대 안정적인 세트 외에도 더 많은 문제를 적용하는 것 외에는 결과를 어떻게 강화해야하는지 전혀 모릅니다. 해결을 위해 결과를 더 강화하는 방법에 대한 많은 아이디어가 있지만, 내가 링크 한 기사는 2002 년부터 Stephen Cook과 Phuong Nguyen 은 2010 년에 논문 을 찾지 못한 논리 교정 증명 기초를 발표했습니다. 그것은 이미 많은 아이디어를 다룰 것이라고 생각합니다. P ≠ NP 에 대한 우리의 관심에도 불구하고 시간이 지남에 따라 이러한 결과가 얼마나 강화 되었는가에 대해 우리에게 실제로 거의 차이가 없는지 주목하는 것이 흥미 롭습니다.질문. 그 동안 컷 규칙과 동등한 논리 시스템에 의존하는 알고리즘이 만족도 문제를 효율적으로 해결할 수 없다는 것이 입증되었지만, 우리는 여전히 P ≠ NP 에 진전이 없었으며 , 문제는 본질적으로 여전히 그 어느 때보 다 널리 열려 있습니다.