정수 선형 프로그래밍을 위해 부울로 캐스트

정수 선형 프로그램에서 다음 제약 조건을 표현하고 싶습니다.

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

나는 이미 정수 변수 있으며 약속합니다 . 정수 선형 프로그래밍 솔버와 함께 사용하기에 적합한 형식으로 위의 제약 조건을 어떻게 표현할 수 있습니까? $x,y$ $-100 \le x \le 100$

아마도 몇 가지 추가 변수를 도입해야 할 것입니다. 어떤 새로운 변수와 제약을 추가해야합니까? 하나의 새로운 변수로 깨끗하게 할 수 있습니까? 두?

마찬가지로, 제약 조건을 적용하는 방법을 묻습니다.

와이 \neq 0 만약에 엑스 \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

이미 를 암시하는 제약 조건이있는 상황에서 및 . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(내 목표는 https://cs.stackexchange.com/a/12118/755 에서 오류를 수정하는 것입니다 .)

linear-programming integer-programming

— DW
소스

무엇을 시도 했습니까? 패턴이 있는지 확인하기 위해 몇 가지 예를 살펴 보셨습니까? 그렇다면, 추측을 시도한 후 증명해 보셨습니까?

— Brika

응! 내가 볼 당신이 무슨 짓을했는지 , @Brika을. 내가 뭘하려 볼 수있는 좋은 방법입니다 호기심 당신이 경우, 참조 여기 뿐만 아니라 그것이 실제로 잘못된 이유의 설명 . 다음 시도를보고 싶다면 내 답변을 참조하십시오 . 저의 오래된 질문을 읽어 주셔서 감사합니다. 앞으로 개선 될 수 있다면, 어떤 제안이라도 듣고 싶습니다!

— DW

아주 좋습니다. ;)

— Brika

답변:

하나의 추가 이진 변수 $\delta \in \{0,1\}$ 할 수 있다고 생각합니다 .

- 100 와이 \leq 엑스 \leq 100 와이

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 와이 - 100.001 δ \leq 엑스 \leq - 0.001 와이 + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

최신 정보

이것은 $x$ 가 연속 변수 라고 가정 합니다 . 우리는 제한하면 $x$ 할 정수로 , 다음 두 번째 제약 조건을 단순화 할 수있다 :

와이 - 101 δ \leq 엑스 \leq - 와이 + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— 에르빈 칼 벨라 겐
소스

작은 프로그램으로 철저하게 테스트 하여이 올바른지 확인했습니다. 솔루션 주셔서 감사합니다!

— DW

@ErwinKalvelagen, 예를 들어 y = {a : x> 0, b : x <0} 인 경우보다 일반적인 경우에는 이진 변수 델타로 논리를 설명해 주시겠습니까?

— Nick

@Nick 이진 변수는 'OR'구문을 모델링하는 데 사용됩니다. 귀하의 질문에 대한 답변 은 여기 를 참조 하십시오 .

— Erwin Kalvelagen

@ErwinKalvelagen, 훌륭한 대답은, 나는 여기에 내 질문에 대한 당신의 접근 방식을 적용하려고 cs.stackexchange.com/questions/64794/... .

— Nick

@GonzaloSolera 사실 나는 틀렸다 : 나는

를 연속 변수 라고 가정했다 . 실제로

가 정수 값이면 0.001을 1까지 움직일 수 있습니다.

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

다음은 결코 예쁘지 않지만 작동합니다. 문제의 특정 경우에 , 이라고하자 . 다음과 같은 제약이 있습니다. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

직관은 다음과 같습니다. . 이것은 제약 조건 2와 3으로 인코딩됩니다. 마찬가지로 제약 조건 4와 5는 인코딩합니다. $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ . 마지막 3 개의 제약 조건은 냅니다. $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— 프라 모드
소스

버그가있는 것 같습니다. 나는 당신이

를 의도한다고 가정합니다 . 그러나

의 경우 여전히 잘못되었습니다 . 이 경우

(

) 을 강제하고 싶지만 방정식

와 같이 모든 방정식을 만족시키는

대한 선택은 없습니다

은

요구합니다 (즉,

). 따라서이 ILP는 다음과 같은 경우 잘못된 결과를 제공합니다.

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

을 원하지만

됩니다. 또한 대한 원하는 범위

질문에 나와있다

아닌

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

다음은 두 개의 임시 변수를 사용하는 솔루션입니다. 하자 (가) 즉 목적으로, 제로 또는 온 변수 정수 즉 경우 , 의 경우 , 및 . 다음과 같은 제약 조건으로이를 적용 할 수 있습니다. $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq 티, 유, 와이 \leq 1 \\ 1 + 엑스 & \leq 101 티 \leq 101 + 엑스 \\ 1 - 엑스 & \leq 101 유 \leq 101 - 엑스 \\ 티 + 유 - 1 & \leq 1 - 와이 \\ 1 - 와이 & \leq 티 \\ 1 - 와이 & \leq 유 \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
소스

이 답변은 안타깝게도 잘못되었습니다. 그것은 구속됩니다

최초의 비 사소한 제약의 첫 부분으로는 문제가 주어 물을 때

. 펜스 포스트 오류가 재미 있지 않습니까? (

Ditto )

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW

@TLW, 그것을 잡아 주셔서 감사합니다! 버그를 수정하기 위해 답변을 편집했습니다. 나는 작은 프로그램으로 철저하게 테스트했으며 지금은 정확해야한다고 생각합니다.

— DW