PTAS 정의 대 FPTAS

내가 읽은 것에서 preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

이것이 PTAS 정의입니다.

문제 대한 다항식 시간 근사법 ( PTAS ) 은 입력 크기에서 시간 복잡도가 다항식 인 근사법입니다.$X$

및 FPTAS 정의

문제 대한 FPTAS (완전 다항식 시간 근사법 ) 는 시간 복잡도가 입력 크기에서 다항식이고 1 / 에서 다항식 인 근사법입니다 .$X$$\epsilon$

그런 다음 작가는 말합니다.

따라서 PTAS의 경우 비례하는 시간 복잡성을 갖는 것이 허용됩니다. 여기서입력 크기입니다.이 시간의 복잡성은 지수입니다 . FPTAS는 에서 기하 급수적으로 증가하는 시간 복잡도를 가질 수 없지만 비례하는 시간 복잡도 는 양호합니다. 최악의 경우 근사화와 관련하여 FPTAS는 NP-hard 문제를 도출 할 수있는 가장 강력한 결과입니다. | 나는 | 1 / ϵ 1 / ϵ | 나는 | 8 / ϵ $|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

그런 다음 문제의 클래스 간 관계를 설명하기 위해 다음 그림을 제안했습니다.

내 질문은 다음과 같습니다.

1. 로부터 학부모 교사 와 FPTAS의 정의, 어떻게 작가는 결론 않는 FPTAS가 기하 급수적으로 성장하는 시간 복잡도 가질 수 ? 그러한 시간 복잡성을 가질 수 있다면 어떤 차이가 있습니까?$1/\epsilon$

2. FPTAS 에는 과 같은 시간 복잡성 이 허용 되지만 PTAS 에는 적합하지 않습니다 . 그렇다면 FPTAS 가 PTAS 의 하위 집합으로 간주되는 이유 는 무엇입니까?$(n+1/\epsilon)^3$

3. 그가 의미하는 바 : FPTAS는 NP-hard 문제에 대해 도출 할 수있는 가장 강력한 결과입니다.

4. 총체적으로 나는 개념에 대해 정확히 무엇을 의미하는지, 그리고 그들의 독특한 특성이 무엇인지 알고 싶습니다.

미리 감사드립니다.

질문에 순서대로 답변하겠습니다.

1. 길이가 인스턴스에 -approximation을 제공하고 및 시간 다항식 , 즉 인 알고리즘이 있으면 문제에 FPTAS가 있습니다. 일부 상수 . 의 주행 시간이 여부에 속하는가 임의위한 . 그 실행 시간 알고리즘은 보다 그 실행 시간 만 보장 될 수있는 알고리즘보다 에 의존 보낸$n$$1+\epsilon$$n$$1/\epsilon$$O((n/\epsilon)^C)$$C \geq 0$$2^{1/\epsilon}$$O((n/\epsilon)^C)$$C$
   $O((n/\epsilon)^C)$$O(n^C e^{D/\epsilon})$$\epsilon$첫 번째 알고리즘에 더 좋습니다. 또한 모든 경우 첫 번째 알고리즘을 사용하지만 두 번째 알고리즘을 사용하지 않는 (적어도 주어진 보증이없는) 다항식 시간에서 근사값을 찾을 수 있습니다 .$E$$1+1/n^E$

2. 근사값이 시간 에서 발견 될 수있는 문제는 PTAS에 있습니다. 모든 대해 이것은 (운동)이므로 다항식 에서 .$1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. 저자들이 의미하는 바는 다항식 시간에 NP-hard 최적화 문제를 정확하게 해결할 수 없기 때문에 기대할 수있는 최선 은 다항식 시간에 거의 이 될 수 있다는 것입니다. . 일반적인 복잡성 클래스 중에서 FPTAS는 에 대한 의존성을 가장 강력하게 보장합니다 . 그러나 실제로 우리는 때때로 더 나은 보증을 얻습니다. 실행 시간은 다항식이며 및 입니다. 따라서 FPTAS가 가장 강력한 결과라는 것은 사실이 아닙니다. PTAS, FPTAS, P 옵션 중에서 가장 강력한 결과 일뿐입니다. 우리가 새로운 클래스 LPTAS를 구성한다면 ( 시간 다항식에$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$과에 ), 그 다음은 강력한 보장 될 것입니다.$\log(1/\epsilon)$

4. NP 하드 최적화 문제가 주어지면 다항식 시간으로 정확하게 해결할 수 없습니다. 기대할 수있는 최선의 방법은 효율적으로 근사하는 것입니다. 일부 문제는 상수 에 근사하기 때문에 NP가 어렵습니다 . 다른 경우에는 다항식 시간으로 문제를 임의로 근사 할 수 있으며 이러한 문제에는 PTAS가 있으므로 PTAS 클래스에 속합니다. 그것은 것이 될 수 -approximation가에 비례 한 시간이 걸리는 , 우리는 일정에 대해 효율적으로이를 적용 할 수 있도록 . 문제에 FPTAS가 있고 클래스 FPTAS에 속하면 에 대한 종속성 은 다항식이므로 이내로 효율적으로 근사 할 수 있습니다.$C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$모든 .$C$

인스턴스 크기를 . PTAS와 FPTAS의 차이점은 전자에서 이 고정 상수이므로 상수로 취급 될 수 있다는 것입니다. 그렇기 때문에 과 같은 실행 시간 이 인스턴스 크기 에서 여전히 다항식입니다 ( 이 고정 상수이므로 입력 크기도 마찬가지 임). FPTAS에서 은 고정되어 있지 않습니다. 근사 체계는 및 에서 와 같이 (예 : 에서 다항식이어야합니다. ). 과 같은 실행 시간ε n은 1 / ε N ε ε 1 / ε N P O L의 Y ( N , 1 / ε ) N 4 ( 1 / ε ) (3) + ( 1 / ε ) 8 N 1 / ε n은 1 /$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$ 과 에서 다항식이 아닙니다 . 따라서 이러한 근사법은 PTAS이지만 FPTAS는 아닙니다.$n$$1/\epsilon$