숫자 알고리즘에서 숫자의 단항 표현을 사용하지 않는 이유는 무엇입니까?

의사 다항식 시간 알고리즘은 입력 값 (크기)에서 다항식 실행 시간을 갖지만 입력 크기 (비트 수)에서 지수 실행 시간을 갖는 알고리즘입니다.

수 있는지, 예를 들어 시험 $n$ , 소수인지 2 내지 번호로 루프가 필요 $n-1$ 하고 있는지 확인 $n$ 개조 $i$ 없거나 없다. 상기 중간 개조는 O (1) 시간이 걸리고, 전체 시간 복잡도는 O (N)에있을 것이다.

그러나 $x$ 를 입력에 쓰는 데 필요한 비트 수로 설정하면 (이진)이므로 이고 문제의 실행 시간 은 지수 (O) ( )입니다.n = 2 x 2 $x = \log n$$n = 2^x$$2^x$

내 질문은 입력 의 단항 표현을 고려하면 항상 이며 의사 다항식 시간은 다항식 시간 복잡도와 같습니다. 왜 우리는 이것을하지 않습니까?x = $n$$x=n$

또한 배낭에 대한 의사 다항식 시간 알고리즘이 있기 때문에 을 사용하면 배낭이 다항식이됩니다.$x=n$

이것은 단항 배낭 이 P에 있다는 것을 의미합니다. 배낭 이 이진수로 인코딩 된 숫자가 P에 있다는 것을 의미하지는 않습니다 .

배낭은 NP- 완전한 것으로 알려져 있습니다. 배낭이 P에 있음을 보여 주면 P = NP임을 알 수 있습니다.

그러나 배낭이 P에 있음을 보여주지 않았습니다. 단항 배낭이 P에 있음을 보여주었습니다. 그러나 단항 배낭은 NP가 완전하다고 알려져 있지 않습니다 (실제로 표준 의심은 NP가 완전하지 않을 가능성이 높습니다) ). 따라서 P에 단항 배낭을 넣는 것이 P = NP를 의미하지는 않습니다.

배낭이나 단항 배낭에 대해 더 신경 써야 할 문제는 무엇입니까? 당신의 동기가 실제적인 관심사에 바탕을 둔다면, 답은 배낭 문제를 풀고 자하는 숫자의 크기에 달려 있습니다 : 그것들이 크다면, 단항 배낭보다 배낭에 대해 더 많은 관심을 기울입니다. 당신의 동기가 이론적 인 관심사에 근거한다면 배낭은 더 흥미로울 것입니다. 왜냐하면 우리가 더 큰 이해를 얻을 수 있기 때문입니다. 크기와 크기를 구별 할 수 있습니다.

배낭 문제에 대한 동적 프로그래밍 알고리즘에 대한 후속 질문에 대답하려면 다음을 수행하십시오.

예, 배낭과 단항 배낭에 동일한 동적 프로그래밍 알고리즘 을 적용 할 수 있습니다. 실행 시간은 숫자의 크기에서 다항식이지만 이진수로 인코딩 될 때 숫자의 길이에서 지수 (다항식이 아님)입니다. 따라서, 입력 시간 이 단항으로 인코딩 될 때의 동작 시간 은 입력 길이에서 다항식 이지만 입력이 이진으로 인코딩 될 때 입력 길이에서 다항식 은 아니다 . 그렇기 때문에 우리 는 이 동적 프로그래밍 알고리즘을 단항 배낭에 대한 다항식 시간 알고리즘으로 간주 하지만 (이진 인코딩) 배낭에 대한 다항식 시간 알고리즘으로 간주 하지 않습니다 .

실행 시간이 입력 길이의 최대 다항식 인 경우 비트 단위 로 알고리즘이 다항식 시간으로 실행된다는 것을 상기하십시오 .

DW의 답변에 하나의 작은 것을 추가 할 것입니다.

나는 단항 Knapsack이 P에 있기 때문에 최고의 알고리즘이 기하 급수적 인 Knapsack 대신 사용할 수 있다고 생각하는 사람들을 보았습니다.

입력 값을 및 k로 하고 배낭 및 단항 배낭에 대한 동적 프로그래밍 알고리즘을 고려하십시오. 둘 다의 실행 시간은 O ( n k ) 입니다. 같은 실행 시간입니다. 즉, 입력이있는 경우 단항 배낭에 동적 프로그래밍을 사용하거나 배낭에 동적 프로그래밍을 사용하더라도 중요하지 않습니다. 둘 다 문제 인스턴스를 해결하는 데 거의 같은 시간이 걸립니다. 이론적으로 어느 곳을 사용하든 다른 하나를 사용할 수 있습니다. 단항에서 이진수로 또는 그 반대로 숫자를 변환하면됩니다.$W=\{w_1, \ldots, w_n\}$$k$$O(nk)$

그렇다면 입력의 크기에 따라 알고리즘의 복잡성을 정의하는 요점은 무엇입니까? 왜 항상 같은 매개 변수의 관점에서이를 명시 ?$O(nk)$

고립 된 문제에 관심이 있다면 그렇게 할 수 있습니다. 실제로는 알고리즘을 사용하는 사람들이 자주하는 일입니다. 그래프 알고리즘의 복잡성은 종종 코딩하는 문자열의 크기가 아니라 수 꼭지점과 가장자리 수로 표현됩니다.

그러나 이것은 우리가 고립 된 문제를 다룰 때입니다. 서로 다른 종류의 입력 문제를 처리 할 때는 유용하지 않습니다. 그래프의 경우 정점 수와 가장자리 수에 따른 실행 시간에 대해 이야기 할 수 있습니다. 배낭의 경우 항목 수와 배낭 크기에 대해 이야기 할 수 있습니다. 그러나 둘 다에 대해 이야기하고 싶다면 어떻게해야합니까? 예를 들어 문제 사이의 축소를 원하거나 그래프를 입력으로 사용하는 것이 아니라 임의의 문제를 포함하는 문제 클래스에 대해 논의 할 때. 우리는 보편적 인 입력 매개 변수가 필요합니다. 일반적으로 입력은 단지 문자열 일뿐입니다. 기호를 단항, 이진수, 그래프 등으로 해석하는 것은 우리입니다. 알고리즘의 복잡성과 문제에 대한 일반적인 이론을 개발하려면 일반적인 입력 매개 변수가 필요합니다. 입력의 크기는 분명한 선택이며, 그 위에 합리적인 이론을 세울 수있을 정도로 견고합니다. 유일한 가능성은 아닙니다. 인공적인 것을 위해 우리는 를 입력 크기로. 잘 작동합니다.$2$

이제 크기를 범용 입력 매개 변수로 사용하기로 결정하고 문자열의 관점에서 객체 인코딩에 대해 생각하도록합니다. 그것들을 인코딩하는 다양한 방법이 있으며 크기가 다를 수 있습니다. 일반적인 알고리즘 이론의 관점에서, 입력 숫자를 단항 또는 이진수로 인코딩할지 여부는 중요합니다. 단항을 사용하고 의 크기 가 100 인 경우 가장 큰 숫자는 100 입니다. 우리는 바이너리를 사용하는 경우 K를 같은 대형으로 할 수있다 2 (100) - 1 . 우리가 k 크기가 배낭 문제를 해결하는 실행 시간에 대해 이야기 할 때$k$$100$$100$$k$$2^{100}-1$$k$어디 한 경우에 우리는 입력에 대한 관심 : 우리가 두 개의 매우 다른 상황을 얻는 100 큰으로 할 수 있습니다 입력에 대한 다른 우리 관리에서 최대 100 인 이 100 - (1) .$k$$2^{100}-1$

다항식 시간으로 SAT를 배낭으로 줄일 수 있는지 알고 싶습니다. SAT의 입력 공식의 크기가 합니다. 그런 다음 n에 크기 다항식이있는 배낭에 대한 입력 만 만들 수 있습니다 . p ( n ) 이 내가 만든 배낭의 입력 크기 라고 가정 해 봅시다 . 단항을 사용하면 k 는 최대 p ( n )이 될 수 있습니다 . I 이진 사용하는 경우에는 I 넣을 수 K를 가능하게 컸다 (2) P ( N ) - 1 . k 를 넣어야한다는 것이 밝혀졌습니다$n$$n$$p(n)$$k$$p(n)$$k$$2^{p(n)}-1$$k$SAT를 배낭으로 줄일 수있을 정도로 상당히 큽니다. 따라서 단항 배낭은 SAT를 줄이기 위해 작동하지 않습니다. 그러나 이진 배낭은 작동합니다. 바이너리를 사용하면 가 더 큰 배낭 인스턴스를 만들 수 있습니다 .$k$

이것을 생각하는 또 다른 방법 : 단항 배낭을 해결하는 블랙 박스와 배낭을 해결하는 블랙 박스가 있다고 가정하십시오. 블랙 박스에 비트 입력 을 쓸 시간이 있다고 가정합니다 . 블랙 박스 중 어느 것이 더 강력합니까? 분명히 이진 인코딩을 사용하는 것입니다. 우리는 기하 급수적으로 더 큰이 배낭 문제를 해결하는 데 사용할 수 있습니다 K 단항 배낭 블랙 박스가 해결할 수있는 문제를 비교합니다.$n$$k$

짧고 간단하게 이유를 보여 드리겠습니다.

인수 분해 알고리즘이 있다고 가정합니다. 하나는 입력과 다른 하나에 정수를 허용한다는 작은 차이를 제외하고$Tally$. 보시다시피 두 코드 스 니펫은 비슷합니다.

x = input integer

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

위의 알고리즘은 숫자 값의 다항식입니다. $x$. 그것은 걸릴 것이다$x$루프의 단계 수 그러나 실제로 비트 크기를 결정할 때$O(2^n)$.

내가 취할 코드를 약간 편집한다고 가정 해보십시오. $Tally/Unary$. 이제$O(n)$ 입력 값과 길이 모두의 시간 $x$.

x = input tallies

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

입력 표현은 코드를 더 빨리 실행하지 않습니다. 두 번째 알고리즘은 실제로 폴리 타임이지만. RSA의 요인을 찾는 것은 그리 실용적이지 않습니다.